南京师大附中 2017-2018 学年度第一学期 高一年级期中试卷数学试卷 南京师大附中 2017-2018 学年度第一学期 高一年级期中试卷数学试卷 解析老师：杨洋解析老师：杨洋 沈沐沈沐 薛薛 韩笑 韩笑 一填空题：本大题共 14 分，每小题 3 分，共 42 分. 1. 已知集合2, 2 , 2, AmBm. 若AB，则实数m=_. 2. 若幂函数 a f xx的图像过点2, 4，则实数a=_. 3. 函数21yx的定义域为_. 4. 若集合1, 2, 3A , 则集合A的子集个数为_. 5. 若函数 2 f xxax 是偶函数，则a=_. 6. 已知2,3lga lgb，则 36 log= _(用含, a b的代数式表示). 7. 已知函数 f x是定义在 R 上的奇函数，若0x 时， 1f xx，则2f = _. 8. 已知函数 2 ( )21f xxx，函数( )yg x为一次函数，若 2 ( ( )243g f xxx，则 ( )g x _. 9. 若函数 4 ,1, ( ) 5,1, x x f x x x ，则方程( )2f x 所有的实数根的和为_. 10. 设 1.11.1 3 log 7,2 ,0.8abc，则, ,a b c三者的大小关系是_.(用” ”连接) 11. 已知函数 2 ( )log3f xxx的零点为 0 x, 若 0 ( ,1),xn nnZ 则n _. 12. 已知函数( ) |1|f xx 在区间 ,)a 是增函数，则实数a的取值范围是_. 13. 已知函数( )yf x是定义在区间 3,3上的偶函数，它在区间0,3上的图像是如图所示 的一条线段，则不等式( )()f xfxx的解集为_. 14. 如图，过原点O的直线AB与函数 9 logyx的图像交于,A B两点，过,A B分别作x轴的 垂线，与函数 3 logyx的图像分别交于,D C两点. 若BD平行于x轴，则四边形ABCD 的面积为_. 二解答题：本大题共 6 小题，共计 58 分 15. （本小题满分 8 分） 已知全集UR，集合 2 |3, |log1.Ax xBxx （1）求;AB （2）求()(). UU C AC B 16. （本小题满分 8 分） 求值： （1） 1 20 3 81 ( 2)()() ; 272 （2） 2 log2 34 log 2log 92 17. （本小题满分 10 分） 已知函数( )(1)(21), xx f xaaa 其中0a 且1,a 又(1)5.f （1） 求实数a的值； （2） 若 1,3,x 求函数( )f x的值域. 18. （本小题满分 10 分） 某市自来水公司每两个月（记为一个收费周期）对用户收一次水费，收费标准如下：当 每户用水量不超过 30 吨时，按每吨 3 元收取；当该用户用水量超过 30 吨时，超出部分 按每吨 4 元收取. （1） 记某用户在一个收费周期的用水量为x吨，所缴水费为y元，写出y关于x的函 数解析式； （2） 在某一个收费周期内，若甲、乙两用户所缴水费的和为 260 元，且甲、乙两用户 用水量之比为3:2，试求出甲、乙两用户在该收费周期内各自的用水量和水费. 19. （本小题满分 10 分） 已知函数( )log (1)(0,1) x a f xaaa （1） 当 1 2 a 时，求函数( )f x的定义域； （2） 当1a 时，求关于x的不等式( )(1)f xf的解集； （3） 当2a 时， 若不等式 2 ( )log (12 ) x f xm对任意实数1,3x恒成立， 求实数 m的取值范围. 20. （本小题满分 12 分） 已知函数( )|1|,f xx xxR （1） 求不等式( )6f x 的解集； （2） 记( )f x在0, a上最大值为( ),g a 若( )2,g a 求正实数a的取值范围. 南京南京师大附中师大附中 2017-20182017-2018 学年度学年度第一学期第一学期 高一年级期中试卷数学试卷高一年级期中试卷数学试卷参考参考答案答案 1. 已知集合2, 2 , 2, AmBm. 若AB，则实数m=_. 【答案】0 【解析】由集合相等的性质，有2 ,0mm m 2. 若幂函数 a f xx的图像过点2, 4，则实数a=_. 【答案】2 【解析】将点坐标代入 , a f xx 2 24,2a 3. 函数21yx的定义域为_. 【答案】 1 + 2 ， 【解析】 1 210, 2 xx 4. 若集合1, 2, 3A , 则集合A的子集个数为_. 【答案】8 【解析】记n是集合中 元素的个数，集合A的子集个数为 3 228 n 个 5. 若函数 2 f xxax 是偶函数，则a=_. 【答案】0 【解析】因为函数 2 f xxax是偶函数，所以x 的一次项系数为0 ，即0a 6. 已知2,3lga lgb，则 36 log= _(用含, a b的代数式表示). 【答案】 ab b 【解析】由换底公式， 3 lg6lg2lg3 log 6 lg3lg3 ab b 7. 已知函数 f x是定义在 R 上的奇函数，若0x 时， 1f xx，则2f = _. 【答案】-3 【解析】( 2)(2)(2 1)3ff 8. 已知函数 2 ( )21f xxx，函数( )yg x为一次函数，若 2 ( ( )243g f xxx，则 ( )g x _. 【答案】25x 【解析】由题意，函数( )yg x为一次函数，由待定系数法，设( )(0)g xkxb k ， 2 ( ( )(21),g f xk xxb由对应系数相等，得2,5.kb 9. 若函数 4 ,1, ( ) 5,1, x x f x x x ，则方程( )2f x 所有的实数根的和为_. 【答案】 7 2 【解析】 1 (1)42, 2 (2)52,3 x x xx 10. 设 1.11.1 3 log 7,2 ,0.8abc，则, ,a b c三者的大小关系是_.(用” ”连接) 【答案】cab 【解析】 1.11.1 3 1log 72,22,00.81 ，cab 11. 已知函数 2 ( )log3f xxx的零点为 0 x, 若 0 ( ,1),xn nnZ 则n _. 【答案】2 【解析】由零点定理， 22 (2)2log 231, (3)3log 33, (2) (3)0ffff 12. 已知函数( ) |1|f xx 在区间 ,)a 是增函数，则实数a的取值范围是_. 【答案】1, 【解析】由绝对值函数的图像可得，区间左端点应该在-1 的右边 13. 已知函数( )yf x是定义在区间 3,3上的偶函数，它在区间0,3上的图像是如图所示 的一条线段，则不等式( )()f xfxx的解集为_. 【答案】 12 3, 7 【解析】由题意，函数( )f x过点 2 (0,2),(3,0),2, 3 yx 又因为( )f x是偶函数，关于 y 轴对称， 所以( )(),f xfx 即2 ( )f xx， 又作出函数在 3,3 上的图像， 当3,0x 的时候，2 ( )yf x 的图像恒在yx 的上方， 当0,3x 的时候， 令 12 2 ( ), 7 f xx x 即当 12 3, 7 x 的时候，满足2 ( )f xx，即( )()f xfxx 14. 如图，过原点O的直线AB与函数 9 logyx的图像交于,A B两点，过,A B分别作x轴的 垂线，与函数 3 logyx的图像分别交于,D C两点. 若BD平行于x轴，则四边形ABCD 的面积为_. 【答案】 3 3 log 2 2 【解析】因为点 D 和点 B 的纵坐标相等，设点 D 的横坐标为a ，点 B 的横坐标为b，则 有 22 3939 loglog,loglog,abaaba ，又 22 99 ,log, (,log)A aaB aa 在一条 过原点的直线上， 22 2 9 9 log 2,2 ,2 log aa aaa aa 9933 2,log 2 , (4,log 4),(4,log 4),(2,log 2),ABCD 所以 3993 13 (42)(log 4log 2)log 8log 2 22 ABCD S 15. （本小题满分 8 分） 已知全集UR，集合 2 |3, |log1.Ax xBxx （1）求;AB （2）求()(). UU C AC B 【答案】 ： （1）23ABxx （2）()()32 UU C AC Bx xx或 【解析】 ：本题考查集合的运算。 （1）由题意知，2Bx x，故：23ABxx （2）3 U C Ax x，2 U C Bx x，故：()()32 UU C AC Bx xx或 16. （本小题满分 8 分） 求值： （1） 1 20 3 81 ( 2)()() ; 272 （2） 2 log2 34 log 2log 92 【答案】 ： （1） 1 6 （2）5 【解析】 ：本题考查对数的运算。 （1）原式= 11 23 32 2121 (2 )( ) 11 3236 （2）原式= 1 2 2 2 log2 22 3 2 log 2log32125 17. （本小题满分 10 分） 已知函数( )(1)(21), xx f xaaa 其中0a 且1,a 又(1)5.f （1）求实数a的值； （2）若 1,3,x 求函数( )f x的值域. 【答案】 ： （1）2a （2） 7 ,77 4 【解析】 ：本题考查函数的性质。 （1）由(1)5f，得：(1)(21)5aaa，解得： 12 2 2, 3 aa 又0a 且1,a 2a （2）由（1）知：( )(21)(23) xx f x ，设 1 2 , 1,3, ,8 2 x txt ，则 22 ( )(1)(3)23(1)4f tttttt，易知，( )f t在 1 ,8 2 t内单调递增，故 min 17 ( )( ) 24 ftf ， max( ) (8)77ftf，故：( )f x的值域为 7 ,77 4 。 18. （本小题满分 10 分） 某市自来水公司每两个月（记为一个收费周期）对用户收一次水费，收费标准如下：当 每户用水量不超过 30 吨时，按每