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江西省2017届高三数学第三次模拟考试试题 理一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求1已知,其中是虚数单位,则的虚部为( ) A-1BC D2已知集合,则( ) A B CD3给出下列两个命题: 命题:若在边长为1的正方形内任取一点,则的概率为 那么,下列命题中为真命题的是( ) ABCD4若函数()与函数的部分图像如图所示,则函数图像的一条对称轴的方程可以为( ) AB CD5中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数除以正整数后的余数为,则记为,例如现将该问题以程序框图的算法给出,执行该程序框图,则输出的等于( )A21B22C23D24 6某食品厂只做了3种与“福”字有关的精美卡片,分别是“富强福”、“和谐福”、“友善福”、每袋食品随机装入一张卡片,若只有集齐3种卡片才可获奖,则购买该食品4袋,获奖的概率为( ) AB CD7已知D、E是边BC的三等分点,点P在线段DE上,若 ,则的取值范围是( ) ABCD8若数列是正项数列,且,则等于( )AB CD9已知实数,满足则的最大值是( )ABCD10某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为( ) A1BC D 12已知函数若存在,使得,则实 数的取值范围为( ) ABCD 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知,则展开式中,项的系数为_ _;14已知函数为偶函数,则_; 15正三角形ABC的边长为2,将它沿高AD翻折,使点B与点C间的距离为,此时四面体ABCD的外接球的表面积为 16数列的前项和为,且,用表示不超过的最大整数,如,设,则数列的前2n项和为 三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程17(本题满分12分)设向量,记函数(1)求函数的单调递增区间;(2)在锐角中,角A,B,C的对边分别为,若,求面积的最大值18(本题满分12分)在2017年高校自主招生期间,某校把学生的平时成绩按“百分制”折算,选出前名学生,并对这名学生按成绩分组,第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,如图为频率分布直方图的一部分,其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列,且第四组的人数为(1)请在图中补全频率分布直方图;(2)若大学决定在成绩高的第组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试(I)若大学本次面试中有三位考官,规定获得两位考官的认可即可面试成功,且各考官面试结果相互独立,已知甲同学已经被抽中,并且通过这三位考官面试的概率依次为,求甲同学面试成功的概率;(II)若大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官的面试,第3组总有名学生被考官面试,求的分布列和数学期望19(本题满分12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的多面体中,四边形是菱形,(1)求证:平面ABC平面ACDF(2)求平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值20(本题满分12分)已知椭圆的左、右焦点分别为、,点也为抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于两点(1)若点满足,求直线的方程;(2)为直线上任意一点,过点作的垂线交椭圆于两点,求的最小值21. (本题满分12分) 已知函数, . ()求的单调区间;()记的最大值为,若且,求证:;()若,记集合中的最小元素为,设函数, 求证:是的极小值点.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按照所做的第一题计分22(本题满分10分)选修4-4:极坐标与参数方程 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆的方程为(1)求的普通方程和的直角坐标方程;(2)当时,与相交于两点,求的最小值23(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知,其中(1)当时,求不等式的解集;(2)已知关于的不等式的解集为,求的值参考答案1.B 2.A 3 C 4. .B 5.C 6.D 7.D 8 .A 9.C 10. C 11.D 12.A 13. 14. 4 15. 16. 17. (2)在中,利用余弦定理,即(当且仅时等号成立),即,又.(当且仅当时等号成立)面积的最大值为18. 解:(1)因为第四组的人数为60,所以总人数为:560=300,由直方图可知,第五组人数为0.025300=30人,又为公差,所以第一组人数为:45人,第二级人数为:75人,第三组人数为:90人 (2) (I) (II) 0123OFEDCBA19.在中,(2)由(1)知,则 FEDCBA设设20. 解:(1)由抛物线得,当直线斜率不存在,即时,满足题意 2分当直线斜率存在,设,由 得 4分设的中点为,则, , ,,解得,则直线的方程为或 6分(2 ) 7分设点的坐标为 则直线的斜率当时,直线的斜率, 直线的方程是当时,直线的方程是,也符合的形式所以直线的方程是设,则, 得 9分, 11分 当且仅当,即时,等号成立,此时取得最小值 12分21. (I),因为,由,得;由,得所以,的增区间为,减区间为;(II)由(I)知,设则所以,在上单调递增,则,因,故,所以(III)由(1)可知,在区间()单调递增,又时,易知,在递增,.,且时,;时,.当时,于是时,(所以,若能证明,便能证明,记,则,在内单调递增,在内单调递增,于是时,在递减.当时,相应的.在递增,故是的极小值点.22.解一:(1)由直线的参数方程(为参数),消去参数得,即直线的普通方程为,由圆的极坐标方程为,得,将代入(*)得, ,即的直角坐标方程为.(2)将直线的参数方程代入得,设两点对应的参数分别为,则,所以,因为,所以当时,取得最小值.解法二:(1)同解法一(2)由直线的参数方程知,直线过定点,当直线时,线段长度最小.此时,所以的最小值为.解法三:(1)同解法一(2)圆心到直线的距离, 又因为,所以当时,取得最大值. 又,所以当时,取得最小值.23. 解:()当时,当时,由得,解得;当时,无解;当时,由得,解得;所以的解集为或.()记,则由,解得, 又已知的解集为,所以于是.史书记载,结束了三国分裂局面的晋武帝司马炎共有儿子26人,但太子司马衷却天生痴愚。晋武帝想废太子,另择继承人,皇后劝说:“立嫡以长不以贤,岂可动乎!”于是晋武帝没有更换太子。由此可见,晋武帝选太子是依据13
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