第三节 向量值函数在定向曲线上的积分,（第二类曲线积分）,一、定向曲线及其切向量,定向曲线：,规定了方向的曲线.,规定：,定向光滑曲线上各点处的切向量的方向总是与曲线的走向一致.,结论：,二、第二类曲线积分的概念,实例：,定义：,注意：,即第二类曲线积分与曲线的方向有关.,三、第二类曲线积分的计算,定理：,计算步骤：,特殊情形：,例1、,例2、,注意：,被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同，积分结果也不同.,例3、,注意：,被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.,四、推广,例4. 设在力场,作用下, 质点由,沿移动到,试求力场对质点所作的功.,其中为,(2) 的参数方程为,解: (1),例5. 求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.,解: 取 的参数方程,练习、,五、小结,1、第二类曲线积分的概念,2、第二类曲线积分的计算,思考题：,思考题解答：,曲线方向由参数的变化方向而定.,原点 O 的距离成正比,备用题,1. 设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提示:,2. 已知,为折线 ABCOA(如图), 计算,提示:,3.,解:,线移动到,向坐标原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.,沿直,4. 设曲线C为曲面,与曲面,从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;,(2) 计算曲线积分,解: (1),(2) 原式 =,令,利用“偶倍奇零”,