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课题:直线与平面垂直的性质教材:普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修22.3.4【三维目标】1知识与技能 通过教师的适当引导和学生的自主学习,使学生由直观感知获得猜想,经过逻辑论证,推导出直线与平面垂直的性质定理,并掌握这一定理2过程与方法 通过直观感知和操作确认的方法,发展几何直觉、运用图形语言进行交流的能力;体会和感受通过自己的观察、操作等活动进行合情推理发现并获得数学结论的过程;通过直线与平面垂直的性质定理的实际应用,让学生体会定理的现实意义与重要性3情感、态度、价值观通过主动参与、积极探究的学习过程,提高学习数学的自信心和积极性,培养合作意识和交往能力,领悟化归与转化的数学思想,提高学生分析解决问题的能力【教学重点与难点】1教学重点 直线与平面垂直的性质定理2教学难点 综合应用线面垂直的判定定理和性质定理教学过程: (1)温故知新 类比导入带领学生复习空间平行和垂直关系,引导学生观察分析平行和垂直关系中判定定理、性质定理的转化方向,类比平行关系的性质,从整体上提出“垂直关系的性质”的猜想。课件展示:【评析】回顾已学过的平行和垂直关系的判定和性质定理,为学生搭建判定和性质转化方向的整体框架,帮助学生理清转化关系,引出本节课题。(2)反思定义 性质初探为了探究在线面垂直条件下的线线关系,学生回顾线面平行性质定理的发现过程。课件展示:【评析】通过分析和类比,使学生明确定义具有双重性,它既是判定也是性质,从定义出发是探究性质的一种方法。(3)推理论证 性质再探直观感知给出不同背景的生活实例,学生从中举例说明观察到的线面垂直和线线平行关系。 课件展示:【评析】引导学生从生活实际出发,把学到的知识和身边的现象联系起来,让学生经历从实际背景中抽象出空间图形的过程,培养学生几何直观和空间想象能力。操作确认现实世界中的直观感知,放到实物模型中,学生借助长方体验证观察到的空间位置关系。课件展示:【评析】发挥长方体作为图形语言载体的作用,在学生的观察发现中,将图形的典型性、简明性、直观性、概括性和趣味性得到了充分表现,激发学生的学习兴趣和求知热情。经过操作确认,结合猜想,学生尝试图形和数学符号语言的表述,投影展示完成情况。课件展示:【评析】文字语言、图形和符号语言的相互转化,有利于培养学生运用数学语言表达和交流的能力,实现教学目标。思辨论证环节一:回顾已经学习过的,证明空间直线与直线平行的方法(学生能提出诸多方法,如线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、公理4等等),给时间学生自主展开证明,交流解法,师生共同分析困难所在。【评析】从“最近发展区”出发,学生尝试直接论证的方法,体会直接使用定理或公理的困难所在,引发认知冲突,为探求反面考虑的论证思路做铺垫,是突破本节难点的第一步。环节二:引导学生思考:空间两条直线的位置关系有哪些?要证明空间两条直线平行,其他的位置关系成立吗?结合分析,有没有其他证明方法?【评析】以层层递进提问探究的形式,将论证的难点分化为小问题,在知识的自然生成中逐步化解学生的认知难点。环节三:假定直线异面或相交,学生再次动笔尝试论证,排除异面与相交的情况。片刻后,学生展示论证方法。课堂预设:(绝大部分学生会得到这样的论证过程)当直线异面时,设,过点作,则,而过一点作已知平面的垂线有且只有一条,不成立。教师指出,论证方法貌似是对的,但在这里是错误的。因为该结论的给出是在本节内容之后,所以暂时不能作为结论直接应用,怎样调整证明方法?引导学生完成:转化到平面中,因为相交直线可确定平面且,这样就能将空间问题转化为平面问题来判断。过平面内一点有两条直线与垂直,是不可能的。当直线相交时:设,能确定一个平面,与上述同理,不成立。故。【评析】与老教材不同,新课标教材的唯一性判断是在平面内完成的,使学生体会空间问题向平面问题转化的思想。预设学生论证过程可能出现的问题,为分解本节课难点提供契机。环节四: 反思上述论证过程,有哪些思考和收获?回答预设:证明几何问题要严谨,多种情况要考虑完整;考虑问题的反面,排除不成立的情况,也是一种证明方法;空间问题平面化等等。教师就学生的交流做点评。【评析】以学生为主体,将自主探究和思辨说理相结合,引导学生分析和反思论证过程中的认知冲突。教师点到为止,通过学生自发地讨论、作图尝试、调整思路、总结反思,有助于学生对数学思想方法的认识,实现本节难点线面垂直性质定理论证过程的有效突破,培养学生合情推理和论证推理的能力。教师指出,论证的结论就是线面垂直的性质定理。同桌交流讨论以下问题: 该性质定理能帮助我们解决什么问题?应用性质定理证明两条直线平行,关键需要有什么条件?与之前平行关系之间或垂直关系之间的转化不同,该性质定理的条件是垂直关系,结论是平行关系,你有怎样的体会?如果将定理的条件改为“两个平面垂直于同一条直线”,这两个平面的位置关系是怎样?课件展示:【评析】分析线面垂直的性质定理,进一步巩固对定理的理解,更好地落实教学目标。归纳总结线面垂直性质定理的探究过程,从哪几个步骤层层递进展开?学生自主填写课前的知识框图:在线面垂直的条件下,得到线线垂直关系和线线平行关系。教师点评:探究发现性质的过程,就是由定义出发的“降维”转化过程。课件展示:【评析】总结空间几何性质的发现过程:一是从定义出发,二是“降维”转化,为后续学生应用线面垂直性质定理的探究经验,类比预测面面垂直的性质明确方向。4. 合作实践 性质应用环节一:结合课前预测,引导学生观察所在的教室环境,发现有哪些面面垂直关系?环节二:由刚才的探究经验,学生带着下面的问题开展分组合作探究:课件展示:环节三:分小组展示,学生互动、质疑,教师整理、点评并展示成果。【评析】开放性自主活动的设置,实质是线面垂直性质定理探究过程的类比应用,既巩固本节课的所学知识,又能引导学生独立开展面面垂直性质的探究,体验性质探究的基本套路。源于生活的实际背景能培养学生的空间观念,激发探究的积极性和创新意识。小组合作探究的组织形式,有利于培养学生的合作学习精神和数学核心素养。教师指出,面面垂直的性质还有许多,课堂上不再一一分析和论证,留给大家课后继续探究发现。预设刚才探究得到的其中一个结论就是面面垂直的性质定理,引导学生分析关键条件。【评析】选取面面垂直的性质定理进行说明,一是使学生感受到学以致用,激发学习热情;二是加深学生对该性质定理关键条件的理解;三是体会定义出发,“降维”探究性质的意义。5. 提炼回顾 构建体系身边的许多空间位置关系都能用今天学习的知识来解释,这就是数学魅力!学生思考:本节课的探究过程中,收获了哪些数学知识和方法?(学生自主总结整理,交流发言)课件展示:【评析】探究方法和过程的梳理,帮助学生形成完整的知识体系,有效完成知识建构。6. 拓展提升 独立再探(1)结合本小组面面垂直的探究成果,作图、写出相应符号语言,并尝试证明。(2)观察生活中的面面垂直关系,结合本节课的探究经验,你还能得到其他的结论吗?【评析】进一步内化学生的认知结构,培养学生的动手实践、独立探究能力,进一步体会数学源于生活、应用于生活的科学价值结束语:今天,我们在观察与发现中欣赏垂直的关系,在回顾与类比中探究垂直的性质,在思考与论证中体会垂直的魅力,这才是学习的价值和意义所在。板书设计:空间中直线、平面垂直的性质空间直线、平面的位置关系: 线线平行线面平行面面平行 线线垂直线面垂直面面垂直转化方法:类比转化思想:空间问题平面化探究空间问题的步骤:直观感知操作确认思辨论证线面垂直的性质定理:线面垂直 线线平行探究方法:从定义出发, “降维”转化面面垂直的性质定理:面面垂直 线面垂直例题1例题2“北斗”卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星定位与通信系统,将来可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务,并具有短报文通信能力。“北斗”卫星导航系统在抗震救灾中发挥的主要作用有7
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