Chapter 2 System Modeling 第二章 系统建模,2.1 Traditional scientific methods and modeling (传统的科学方法与建模),Obtained experimental evidence through the observation of a phenomenon Presents a theoretical assumption of this phenomenon (induction); Using a new experiment to verify this hypothesis If the experiment fails, return to the second step; If successful, it may be obtain Nobel Price. Using this theory describe the same phenomenon with (deduction).,Ex.1 Pythagorean theorem and mathematical modeling (勾股定理与数学建模),在我国古代，人们就知道直角三角形三个边长之间存在“勾三股四弦五”的关系，称为“勾股定理”。当时西方还远没有涉及这一问题。 但是我国的古代学者没有把这一现象上升为一种理论，即“数学模型”；而西方科学家后来对此做出了贡献。,弦=5,勾=3,股=4,7,5,？,x,y,z,F(x,y,z)=?,Induction(归纳),Deduction(推演),Composition and decomposition of the force 力的合成与分解,Ex.2 The discovery of electromagnetic waves and the mathematical model(电磁波的发现与数学模型),1 In 19 century, Faraday (1791-1867) discovered “electromagnetic induction“; 19世纪，法拉第发现“电磁感应定律”； 2 Maxwell (1831-1879) On the basis of induction, deduced and established “Maxwells equations“; 麦克斯韦在此基础上归纳、推演建立了“麦克斯韦方程组”; 3 And then electromagnetic waves, light waves were obtained; 继续推演得到了电磁波、光波 4 phones, wireless communication was invented 电话、无线通讯等成果。,Ex.2(实例2续),Modeling method 建模方法,Propose a hypothesis according to the observation of a phenomenon and confirmed it, that it is a mathematical modeling 对观察的现象提出一种理论假设并证实它，是一种数学建模 Using existing theories describe a particular phenomenon, also is a kind of mathematical modeling用已有的理论描述某一特定的现象，也是一种数学建模 Experiment, induction, deduction is a major means of mathematical modeling 实验、归纳、推演是建立数学模型的重要手段、方法和途径。,我国古代科技比西方国家发达，但是到了近代，远落后于西方了。一个重要的原因是思维方式不同。 爱因斯坦曾说过：西方科学的发展是以两个巨大的成就为基础，即希腊哲学家发明的形式逻辑（欧几里得几何）和通过系统试验有可能发现因果关系（文艺复兴时期）。中国的先哲们没有做到这一点。,2.2 System Modeling (系统建模),模型是系统某种特定性能的一种抽象形式。通过模型可以描述系统的本质和内在的关系。而数学模型是用数学方法描述系统的特征和行为。 我们把建立描述系统特征和行为的数学模型的过程称为系统建模。,Classified according to system state changes 按系统状态变化分类,连续系统：（Continuous System） 系统的状态随时间连续的有规律的变化。 实例：汽车在道路上行驶，机器人的运动， 机械运动类大多属连续系统。 离散事件系统：（Discrete-event System） 系统的状态变化是偶然的随机的变化。 实例：交叉口等待的车流，交通流量，密度，流速等，物流系统。 管理类绝大多数系统属离散事件系统。,2.3 Modeling Methods (建模方法),2.3.1 Experimental Modeling Method 实验建模法 Experimental modeling method is to use the special to the general inductive method 实验建模法就是采用由特殊到一般的归纳方法。,Ex.1 ：Tire Cornering Characteristics 汽车轮胎侧偏特性,1 The phenomenon of tire cornering 轮胎的侧偏现象。,Tire deformation figures 轮胎变形图,对轮胎进行实验，求轮胎侧向力与侧偏角之间的关系。,Experimental data,Modeling according to the experimental results,当轮胎侧偏角比较小时（侧偏角小于6度），对6度以内的数据进行线性回归，得：,对其他轮胎进行多次实验后，发现在小侧偏角范围内，轮胎的侧向力与侧偏角都具有线性的关系，即：,上式称轮胎侧偏模型。称为侧偏刚度，通过实验确定。,当轮胎的侧偏交比较大时，用线性模型表示轮胎的侧偏特性就不适合了。有人提出了如下非线性模型：,为模型系数，通过实验确定。,Linear regression and exponential regression 线性回归和指数回归,2.3.2 Mechanism Modeling (机理建模法),机理建模法就是采用由一般到特殊的推理演绎方法。,Basic thinking 基本思路,根据研究对象的内部特征，寻找“活动机理”这种“机理”一般由前人发现的“一般原理和方法”所组成。,EX4：Solution vehicle power and maximum speed 求汽车的动力性和最高车速,System(系统)：,Automotive Systems,Throttle gear box,power maximum speed,Mechanism analysis of the system? 系统机理分析 ?,Motion mechanism is based on rigid body dynamics, Newtons Theorem. 运动机理是基于刚体动力学，牛顿定理。 Auto power of description? 汽车动力性描述?,The balance of car driving force and driving resistance 汽车的驱动力与行驶阻力平衡。,According to the mechanical balance principle: driving force = driving resistance,驱动力,滚动阻力,风阻,坡阻,加速阻力,The balance equation:,求最高车速：坡度为零，加速度为零。 平衡方程简化为：,EX5：Car following model,Characteristic of car following ： 1) Restriction(制约性) 紧随要求：必须紧跟前车 车速条件：只能在前车速度附近摆动 间距条件：保持安全距离,2) Hysteretic(迟滞性) State changes of the front car State changes of the following car But not synchronous. The reason: The drivers response delay. Perception stage Cognition stage Determine stage Execution stage,四个阶段所需时间为反应时间，设为 t，前车在时刻t 动作，后车在（t + t）时刻才能做出相应的动作。,3) Transitivity(传递性) 第一辆车制约第二辆，第二辆车制约第三辆，. 第n辆车制约第n+1辆，这就是传递性. 由于延迟性，信息的传递像脉冲一样间断连续。,following model,系统机理分析 考虑一种刺激反应方程的形式。反应是驾驶员对前面车辆变化的反应，反应的大小是与时间t 时刻的刺激大小成比例的加速或减速，并且在t + T 时刻开始。基本表达式如下： 反应（t + T）= 灵敏度*刺激（t）,1) 跟车中，后车（FOLLOWING CAR) 与前车（LEEDING CAR）的距离为hs（t） 2) 车速相同； 3) 如果前车在t 时刻紧急停车，后车 在（t + T）时刻也紧急停车，且停下来 后，不会碰撞前车。,Principle assumption,Analysis diagram of car following,图中：,L停止时的车头间距，m； d1车辆n+1在反应时间T内行使的距离,m; d2车辆n+1从制动到完全停下所行驶的距离，m； d3车辆n 从制动到完全停下所行驶的距离，m； d4两车停车后的缓冲距离，m； Xn(t)第n辆车在t时刻的位置，m。,因此，在时间t时刻，前车突然停车而不发生碰撞，所要求的车头间距为 :,确定车辆的速度为：,加速度为:,代入:,假定两车停下来所需的加速度和距离都相等，即d3=d2，车头间距为:,对t积分：,因此，在t+T时刻，后车的加速度为：,上式是在假定两车停下来所需的加速度和距离都相等的情况下推导出来的。实际情况要比这个假设所限定的条件复杂的多，为了适应更一般的情况，上式可以修改为：,式中，,为反映强度系数。,2.3.3 Integrated Modeling Method 综合建模法,Integrated modeling method is a combination of mechanism modeling and experimental modeling method. 综合建模法是将机理建模法与实验建模法有机地结合起来。,EX5：The relationship among traffic volume, speed and density (交通流量、速度和密度之间的关系),图 7-1 三参数计算图,式中： Q流量，辆/h； V区间速度，km/h; K密度，辆/km。,（7.1）,Speed - Density? (速度-密度的关系？),1 Linear relationship model(直线关系模型) 1933年格林息尔治(Greenshields)在对大量观测数据进行分析之后,提出了速度-密度的单段式直线性关系模型。,式中a、b是常数。当K=0时，V值可以达到理论最高车速， 即畅行速度代入公式得：,，,当密度达到最大值，即时，车速V=0，代入式得：,将a、b代入式得：,（7.2）,2 Logarithmic