河北联合大学2012级研究生 学院：建筑工程学院 专业： 建筑与土木工程 学号： 姓名： 成绩： 数值积分及应用研究第一章 对象描述一、 数值积分及应用描述数值积分的多种问题及其在现代工程中的广泛应用的探讨是计算数学的一个重要课题，数值积分是数学上的重要课题之一，是数值分析中的重要内容之一，也是数学的研究重点。并在实际问题及应用中有着广泛的应用。常用于科学与工程的计算中，如涉及到积分方程，工程计算，计算机图形学，金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用，所以研究数值积分问题有很重要的意义。研究方法有插值法和抽样插值法等。当然大家都知道计算积分可以借助原函数和查找积分表，但是，用这些方法只能解决很狭隘的一类积分，而且在计算的过程中，肯定会产生误差，我们要想法子使得误差尽可能的小。因此，数值积分的公式应满足：计算简单，误差小，代数精度高等。近些年来，有关数值积分的研究已经成为一个很活跃的研究领域，所以研究数值积分有很重要的意义。设是闭区间上某一给定的可积函数，现在要计算定积分，我们可以借助原函数，或借助函数逼近的方法来计算，对于不熟悉的我们也可以借助参考积分表。但都有一定的局限性，由于许多函数的无定积分无法用简单的函数表达出来，如一些离散点上的函数。在微积分理论中，我们知道了牛顿莱布尼茨（Newton_Leibniz）公式： 式（1.1）其中在闭区间上连续，是被积函数的某一个原函数，但是对于很多实际问题都无能为力。主要原因：1. 被积函数的原函数理论上存在，但无法用简单函数表示出来，即无法用与上式计算，例如：等初等函数；2. 被积函数无法详尽描述，即没有可用的计算表达式，也就是如是在一些离散点上的函数，就无法显示微分方程的解。3. 被积函数的原函数,表示相当复杂，求值困难。 因此，需要研究计算定积分的近似方法，即数值积分法。当然，可积函数的种类是极其多的，那么我们应该考虑满足：计算简单，误差小，代数精度高，故此，我们常寻找新的方法来修正已知的求积公式。 当的情况使得无法精确计算时，若能已知在部分点上的函数值，利用已经学过的差值知识，可以构造一个多项式来逼近被积函数，而多项式为被积函数，在区间上的定积分是容易计算的，这样得到计算定积分的一种数值积分方法，即 式（1.2）于是，就根据这一想法构造了计算积分的各种近似计算公式。二、 数值积分及应用的相关概念1. 求积节点，求积系数，权等概念 若求积公式 式（1.3）式中称为求积节点，称为求积系数，亦称伴随节点的权。 2. 求积公式的代数精度的概念若求积公式（1.3）中，若对任意次数不高于次的多项式均精确成立，而对某个次的多项式不精确成立，则称该求积公式具有次代数精度（Algebraic Accuracy）。3. 求积公式的收敛性与稳定性在求积公式（1.3）中，若 ，其中，则称求积公式（1.3）是收敛的。 对任给，若，就有 式（1.4）成立，则称求积极分公式（1.3）是稳定的。4. 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式将积分区间等分，步长 ，取等距节点则柯特斯（Cotes）系数 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式为 式（1.5）又被称为N-C公式。下面给出几种特殊的N-C求积公式。（1）梯形求积公式：当时，相应的求积公式 式（1.6）称为梯形求积公式。（2）辛普森（Simpson）公式当时，相应的求积公式为 式（1.7）（3）柯特斯（Cotes）公式当时，令，求积公式 式（1.8）称为牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式。 5. 复化梯形积分若将积分区间等分，步长，节点在每个小区间上用梯形公式 式（1.9）并求和得到的公式 式（1.10）称为复化梯形公式。6. 复化辛普森（Simpson）积分若将积分区间分成等分，步长，节点 在每个小区间上使用Simpson公式则有其中，对其求和可得得到的公式 式（1.11） 则称为复化Simpson公式。7. 龙贝格(Romberg)求积公式Romberg积分是一种最典型的外推算法，是利用逐次分半的梯形序列，经Richardson 外推算法得到的求积公式。下面对改公式进行详细的介绍：对积分，使用复化梯形公式并记 再根据Euler-Maclaurin公式，可得取其中的，由Richardson 外推公式得设，则，且有如此重复Richardson公式可得若记，则上式可记为 式（1.12）此式即为龙贝格(Romberg)求积公式。8. 高斯(Gauss)求积公式Gauss型求积公式是指具有次代数精度的形如插值型求积公式，其节点称为Gauss点。下面介绍几种常用的Gauss型求积公式：（1）高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积公式 式（1.13）其Gauss点为Legendre多项式 的零点，求积系数为 （2）高斯-切比雪夫（Gauss - Chebyshev ）求积公式 式（1.14）其Gauss点及求积系数为 ， （3）高斯-拉盖尔（Gauss - Laguerre ）求积公式 式（1.15）其Gauss点为Laguerre多项式 的零点，求积系数为 （4）高斯-埃尔米特（Gauss Hermite）求积公式 式（1.16） 其Gauss点为Hermite多项 的零点，求积系数为 三、 数值积分及应用的相关理论定理1： 形如（1.3）式的求积公式至少有次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的。定理2： 若求积公式（1.3）中系数，则此求积公式是稳定的。定理3： 当阶为偶数时，牛顿-柯特斯公式（1.5）至少有次代数精度。定理4： 设，则有 ， 式（1.17）其中系数与无关。定理5： 插值型求积公式（1.3）的节点是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式 与任何次数不超过的多项式带权正交，即 式（1.18）定理6： 高斯求积公式（1.3）的求积系数全是正的。定理7： 设，则高斯求积公式（1.3）是收敛的，即 四、 数值积分及应用国外研究进展 近几年来, 数值积分的文献有明显增多的趋势.例如,从1975至1979年间,仅美国的数学评论(Mathematical Revicws)上评述过的文章,每年都在百篇以上,其中还不包括有关Monte C arlo 方法和数值积分变换等方面的文献。只须对文献状况作一番粗略分析, 则不难发现四个特点,即:研究方法的多样性、研究对象的特殊性、研究问题的具体性。今逐点概述如下1.研究方法的多样性S.L.Sobolev等人认为近代数值积分研究与泛函分析、代数学、概率统计理论、拓朴学等许多数学分支均有着密切的内在联系.这一看法无疑是符合实际情况的。著名的数论方法(主要用于处理多元周期函数的数值积分)是以解析数论与代数数论中的一些研究成果为依据发展起来的。多年来, Sobolev 学派一直采用泛函分析工具研究高维数值积分问题,并获得了丰富的成果. 他们利用泛函分析方法建立了各种函数空间求积过程收敛性的理论.此外,他们也重视在各种函数空间(针对特定的函数类)讨论优化求积公式的构造问题. 对此感兴趣的读者, 建议去查阅近几年苏联的数学文摘杂志。构造高维求积公式的代数方法是大家熟悉的. 它是以追求提高“代数精确度” 为目标的一种方法, 所使用的工具主要是矩阵代数、线性变换和多元直交多项式理论.20多年以来, 针对各种特殊区域已经构造了大量的具有各种代数精确度的求积公式.在这一领域作出贡献的学者主要有A.H.Stround, P.C.Hammer, P.M.Hirsch, J.N.Lynes等人。上述情况足以说明,在近代数值积分法的研究中,人们所使用的数学方法是多种多样的。2. 研究对象的特殊性由于应用上的需要,决定了近代数值积分方法研究中的另一特点是,有关特殊类型问题的研究十分明显地增多了.特别是,关于奇异积分、振荡积分、被积函数的值不能准确地确定的积分应该如何近似估值等间题的研究,文献越来越多。此外,讨论Laplace反变换数值计算的文献也不少。3.研究对象的具体性近几年来, 根据物理学与其它技术科学部门的实际需要,许多作者设计了一些具体的求积公式。例如,H.G.Kaper曾研究了下列积分 和 在附近的渐近性质并得到了和的渐近展开式, 这里取正实数,是非负整数,是复变量且.这两个积分在中子流动方程和中子幅射迁移方程中扮演着重要的角色.又如许多有关振荡函数积分近似估值法的研究多半是针对物理学中经常出现的具体积分进行的.在M.Blakemore, G.A.Evans和J.Hyslop的文章中，曾对已有的许多方法进行了比较，修正和推荐。A.R.Didonato对大的和实数给出了下列逼近式 ，其中 .特别，时上式为精确等式。曾阐明各种数值积分方法都有它自己的特点,各有其一定的适用范围,因此要想在数值积分法中找到一个适用于各种场合的“万能方法”是不可能的. 这一特征现今已越来越明显地表现出来了。五、 数值积分及应用方法有多少？1.牛顿莱布尼茨积分法2.牛顿柯特斯积分法3.辛普森积分公式4.复合梯形计算法5.复合辛普森求积方法6.龙贝格求积计算法7.高斯求积计算法第二章 算法研究一、数值积分种类1.数值积分的方法1.1 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式将积分区间等分，步长 ，取等距节点则柯特斯（Cotes）系数