铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构10.1 空间几何体柱体、锥体、台体和球的概念【知识网络】1、棱柱、棱锥、棱台的几何特征，它们的形成特点及平移的概念，简单作图方法。2、圆柱、圆锥、圆台、球及简单几何体的几何特征，它们的形成特点和画法。3、简单几何体的形状，善于将复杂的几何体转化为简单的几何体。解决棱台的有关问题时，注意联系棱锥的性质；在画棱柱、棱锥、棱台时，注意做到实虚分明。4、识别一些复杂几何体的组成情况，注意球与球面，多面体与旋转体的区别。了解处理旋转体的有关问题一般作出轴截面，然后在轴截面中去寻找各元素的关系。【典型例题】例 1：（1）在棱柱中（ ）A只有两个面平行 B所有的棱都平行C所有的面都是平行四边形 D两底面平行，且各侧棱也互相平行答案：D。解析：由棱柱的概念知。（2）一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为 49，则此棱锥的侧棱被分成上下两部分之比为（ ）A49 B21 C23 D2 5答案：B 。解析：截得小棱锥与原棱锥的侧棱之比为 2：3，故此棱锥的侧棱被分成上、下两部分之比为 2：1。（3）在Rt ABC中，C=90， ，则以斜边c所在直线为轴可得旋转体，当用一个平4,3ba面垂直于斜边去截这个几何体时，所得截面圆的直径的最大值是 （ ）A、 B、 C、5 D、10 512524答案：B 。解析：最大截面圆的直径为 RtABC 斜边上高的 2 倍。（4）填表底面形状 侧面形状 对角面形状 平行底面的截面与底面关系三棱柱 四棱柱 五棱柱 答案：底面形状 侧面形状 对角面形状 平行底面的截面与底面关系三棱柱 三角形 平行四边 形 无 全等三角形 铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构四棱柱 四边形 平行四边形 平行四边形 全等四边形五棱柱 五边形 平行四边形 平行四边形 全等五边形（5）在半径为 30m 的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，其轴截面顶角为 120，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度应为_ 答案： m310。解析：作出圆锥的轴截面：光源高度 。/tan6013h例2：在三棱锥PABC 中，PA=PB=PC=2，APB= BPC=APC=30 ，一只蚂蚁从A点出发沿四面体表面绕一周，再回到A点，问蚂蚁经过的最短路程是多少？答案：解：如图三棱锥PABC，沿棱PA 展开得图，蚂蚁经过的最短路程应是 ，又APB= BPC=APC=30 ， = 。A2 例 3：试画出图形并加以说明，正方体的截面可能是什么图形？若正方体的棱长为 1，当截面边数最少时截面的最大面积是多少？答案：正方体的截面可能是三角形及其内部、四边形及其内部、五边形及其内部、六边形及其内部. 当截面边数最少时截面的最大面积是 .23例4：如图（1）是一个半径为3，圆心角为120的扇形，现将它卷成一个圆锥，沿虚线粘好如图（2），求圆锥的底面圆半径。（1） （2）答案：由于扇形恰好卷成一个圆锥，扇形的弧长AB即为圆锥底面的圆周长，设圆锥的底面圆半径为 ，则 圆弧AB，在扇形中，由于AOB=120，故圆弧AB即是半径为3的圆周长的 ，r2 31圆弧AB= 。 2，故 =131rr2rACBACA AO3120 O铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构故所求圆锥的底面圆半径为 1。 【课内练习】1给出下列命题（1）多面体是由若干个平面多边形所围成的图形（2）棱柱、棱锥、棱台是简单多面体（一个几何体表面经过连续变形变为球面的多面体叫简单多面体）（3）有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥（4）有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台其中正确命题的个数是 （ ）A、1 B、2 C、3 D、4答案：B 。 解析： 正确。 2用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是 （ ）A、圆锥 B、圆柱 C、球体 D、以上都可能答案：B 。解析：用平行于轴的平面去截圆柱，得到的截面是四边形。3将梯形沿某一方向平移形成的几何体是 （ ）A、四棱柱 B、四棱锥 C、四棱台 D、五棱柱 答案：A。解析：多边形平移形成的几何体是棱柱，梯形是四边形。4用一张4cm8cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则轴截面的面积为 （接头忽略不计）。答案： 。解析：以 4cm 或 8cm 为底面周长，所得圆柱的轴截面面积均为 。23cm 23cm5四棱台有 个顶点， 个面， 条边。答案：8；6；12。6旋转体中母线上（除与轴相交的点之外）每一个点在绕轴旋转的过程中形成的轨迹（运动的点的集合）都是一个 。答案：圆。7将一个半径为5cm的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的母线长为 cm。答案：5。解析：扇形卷成圆锥的侧面时，圆锥的母线长等于扇形的半径，半圆可看成圆心角为180的扇形。8已知甲命题：棱柱是直棱柱；并给出下列4个乙命题：棱柱有一条侧棱与底面垂直；铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直；棱柱有一个侧面与底面多边形的一条边垂直；棱柱有一个侧面是矩形且与底面垂直。其中乙命题是甲命题的（1）必要不充分条件的序号是 ；（2）充要条件的序号是 。（注：把所有满足题意的乙命题的序号都填上）答案：（1）；（2）。9 如图是正方体的表面展开图，A、B、C 、D是展开图上的四点，求在正方体中，ACB和DCA的度数分别为多少？当正方体的棱长为2时，ACD的面积等于多少？答案：将正方体的表面展开图还原成正方体如下图所示，由于正方体的各个面均为正方形，ACB是以 ABC 为直角的等腰直角三角形。故ACB=45，又AC、CD、AD均为全等正方形的对角线，从而AC=CD=DA，故DCA=60。当正方体的棱长为2时，则AC=CD=DA= ，2即ACD 是以 为边长的正三角形，从而 。2 32)(43ACDS10如图所示，在直角坐标系中有一直角三角形OAB，现将该三角形分别绕x轴、y轴各旋转一周，得到两个几何体，这两个几何体是同一种类型的几何体吗？答案：解：不是同一种类型的几何体，如图所示，RtOAB绕y轴旋转一周得到的几何体仅是一个圆锥，而它绕x轴旋转一周得到的几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥而组成，如图所示。ADBCBCADABOxABOxABOx铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构ABCOS 【作业本】A 组1下列命题正确的是 （ ）A棱柱的底面一定是平行四边形 B棱锥的底面一定是三角形C棱台的底面是两个相似的正方形 D。棱台的侧棱延长后必交于一点答案：D。解析：棱柱、棱锥、棱台的底面是任意多边形。2一个等腰梯形绕着它的对称轴旋转半周所得的几何体是 （ ）A、圆柱 B、圆台 C、圆锥 D、以上均不对答案：B 。解析：由圆台的形成过程知.3下列命题中：空间中与定点的距离等于定长的点的集合是球面；球面上三个不同的点，一定都能确定一个圆；一个平面与球相交，其截面是一个圆面。其中正确命题的个数为 （ ）A、0 B、1 C、2 D、3答案：D。4已知三棱锥S-ABC 的底面是以 AB为斜边的直角三角形 ABC且SA=SB=SC= ， ，设S、A、B、C 四点均在以O为球心的球面上，则球的表面积是326_。答案：24。解析：如图所示，S 在底面 ABC 上射影 O 是 RtABC的外心即 AB 的中点，易得 OA=OB=OC=OS，故球半径为 ，6球的表面积为 24。5将一个形状为长方体的橡皮切三刀，这块橡皮最多被割成 块.答案：8 块。6如图所示，已知ABC。（1）如果你认为ABC是水平放置的三角形，试以它为底，画一个三棱柱；（2）如果你认为ABC是竖直放置的三角形，试以它为底，再画一个三棱柱。答案：（1）答：如图（1）所示；（2）答：如图（2）所示 ABCA1A 1ABBBC1C铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构 7一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A，B，C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，ABC的度数是多少？ 答案：以连排的三个正方形中间的一个为底面，将平面图还原成正方体如图，由于正方体各个面是边长相等的正方形，故ABC的三边AB、BC、AC分别是三个正方形的对角线。AB=BC=AC，故ABC=60。8一块扇形铁皮 AOB，AOB=60，OA=72cm，要剪下一扇环 ABCD 作圆台的侧面，圆台的下底面比上底面大，并且由剩下的扇形 COD 内剪下一个面积最大的圆形铁皮，使它恰好作为圆台的上底面，问 OD 应取多长？ 答案：解：设圆台上、下底面半径分别为 、R，如图所示，r扇形OCD内面积最大的圆是其内切圆 ，E为O切点， 圆弧AB长为 ，,REO 1807262 ，3623sin,12 FODOD 的长为 36cm。B 组1一棱台被平行于底面的平面截成上、下两个棱台，它们的体积分别是 和 ，则 和 的函yx数图像大致是（ ） o xyo xyo xyo xyA B C D答案:C 。解析：设棱台的体积为 V（为定量），则 x+y=V，故选 C。2边长为5cm的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是 （ ）1BC1CABCAOA12ECBDF铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构A、10cm B、 C、 D、cm25cm152cm425答案：D。解析：沿 EF 将圆柱的母线剪开，并展开侧面，则在侧面展开图中 ，52FGEF=5，最短距离为 cm。25()3已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形如下，则 （ ）A.以下四个图形都是正确的 B.只有（2）（4）是正确的 C.只有（1）