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4.1.2 圆的一般方程,思考:,1、方程 表示什么图形?,对方程,配方,可得,此方程表示以,为圆心,2为半径的圆。,2、是不是形如 的方程均可表示圆?,请把方程,进行配方,观察此方程,对方程,配方,可得,所以这个方程不表示任何图形。,由于不存在点的坐标 满足此方程,表示什么图形?,探究:,方程,在什么条件下表示圆?,配方可得:,把方程,(1)当,时,方程,表示以,为圆心,,为半径的圆。,(2)当,时,,只有一解,方程,它表示一个点,(3)当,时,,没有实数解,它不表示任何图形。,方程,圆的一般方程,当 时,方程 表示一个圆,我们把它叫做圆的一般方程.圆心为 , 半径为,注意: (1)x2和y2系数相同,都不等于0; (2)没有xy这样的二次项.,标准方程: 图形特征一目了然,明确地指出了圆心和半径;,一般方程: 突出了代数方程的形式结构,,思考:圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点?,例1:下列方程各表示什么图形?,(1)原点(0,0),答案:,练习:判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径,(3)不是,(4)不是,(5)不是,答案,解:,设圆的方程为,把点 的坐标代入得方程组,解这个方程组得,故所求圆的方程为,因此所求圆的圆心为,半径长为,用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤:,(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;,(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;,(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程,例3、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.,分析:,如图,点A的运动引起点M的运动,而点A在圆上运动,点A的坐标满足方程,建立点M的坐标与点A的 坐标之间的关系,就可 以建立点M的坐标满足 的条件,求出点M的 轨迹方程,解:,设点M的坐标是,设点A的坐标是,由于点B的坐标是(4,3),且点M是线段AB的中点,所以,于是有,因为点A在圆 上,,所以,把(1)代入(2)得,整理得,所以点M的轨迹是以 为圆心,半径长为1的圆。,所以点M的轨迹方程是,练习:如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0),当点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹是什么?,答案:,以点(6,0)为圆心, 半径长为2的圆。,线段PA的中点M的轨迹,1圆x2+y2+4x+26y+b2=0与坐标轴相切,那么b可以取的 值是( ) (A)2或13 (B)1或2 (C)1或2 (D)1或1,A,2方程x2+2xy+y2+x+y2=0表示的曲线是( ) (A)两条相交直线 (B)两条平行直线 (C)不是圆也不是直线 (D)圆,B,3若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a1=0表示圆,则a的取值范围是 。,4三角形ABC的三个顶点A(1,4),B(2,3),C(4,5),则ABC的外接圆方程是_.,x2+y22x+2y23=0,5已知ABC的边AB长为2a,若BC的中线为定长m,求顶点C的轨迹方程.,解:由题意,以AB中点为原点,边AB所在的直线为x轴建立直角坐标系,如图,则A(a,0),B(a,0), 设C(x,y),,则BC中点为E,因为|AE|=m,所以,化简得(x+3a)2+y2=4m2.,由于点C在直线AB上时,不能构成三角形,故去掉曲线与x轴的两个交点,,从而所求的轨迹方程是(x+3a)2+y2=4m2. (y0),(1) 任何一个圆的方程都可以写x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式, 但是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的曲线不一定是圆,只有在D2+E2- 4F0时,表示圆心为 ,半径为 的圆。,(2)利用待定系数法求圆的方程,对于已知条件容易 求出圆心坐标和半径或需用圆心坐标列方程的问题, 一般采用圆的标准方程,否则用圆的一般方程。,
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