双曲线及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.设34,则关于x,y的方程x2sin-y2cos=1所表示的曲线是()A.焦点在y轴上的双曲线B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在x轴上的椭圆【解析】选C.方程即x2sin+y2-cos=1,因为34,所以sin0,cossin,故方程表示焦点在y轴上的椭圆.【补偿训练】在方程mx2-my2=n中,若mn0,则方程的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线【解析】选D.方程mx2-my2=n可化为:y2-nm-x2-nm=1,因为mn0,所以方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线.2.(2016枣庄高二检测)双曲线x225-y29=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为()A.22或2B.7C.22D.2【解析】选A.因为a2=25,所以a=5.由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=10,由题意知|PF1|=12,所以|PF1|-|PF2|=10,所以|PF2|=22或2.3.设动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6,则P点的轨迹方程是()A.x29-y216=1B.y29-x216=1C.x29-y216=1(x-3)D.x29-y216=1(x3)【解析】选D.由题意知,动点P的轨迹应为以A(-5,0),点B(5,0)为焦点的双曲线的右支.由c=5,a=3,知b2=16,所以P点的轨迹方程为x29-y216=1(x3).【误区警示】容易忽视x的取值范围而导致错选A.4.(2016泉州高二检测)已知定点A,B且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是()A.12B.32C.72 D.5【解析】选C.由题意知,动点P的轨迹是以定点A,B为焦点的双曲线的一支(如图),从图上不难发现,|PA|的最小值是图中AP的长度,即a+c=72.5.(2016潍坊高二检测)双曲线x2n-y2=1(n1)的两焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2n+2,则PF1F2的面积为()A.12B.1C.2D.4【解析】选B.不妨设F1,F2是双曲线的左、右焦点,P为右支上一点,|PF1|-|PF2|=2n,|PF1|+|PF2|=2n+2,由解得:|PF1|=n+2+n,|PF2|=n+2-n,得:|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2,所以PF1PF2,又由分别平方后作差得:|PF1|PF2|=2,所以SPF1F2=12|PF1|PF2|=1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016唐山高二检测)已知P是双曲线x264-y236=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为.【解析】由条件知a2=64,即a=8,c2=b2+a2=100,c=10,所以双曲线右支上的点到左焦点F1的最短距离a+c=1817,故点P在双曲线左支上.所以|PF2|-|PF1|=2a=16,即|PF2|=16+|PF1|=33.答案:33【误区警示】本题易直接利用定义求解,忽视右支上的点到左焦点的最短距离为a+c,而出现错误结论|PF2|=1或|PF2|=33.【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中,已知ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),若顶点B在双曲线x225-y211=1的左支上,则sinA-sinCsinB=.【解题指南】由正弦定理可将sinA-sinCsinB转化为边的比,而ABC的顶点A,C已知,故边AC长可求,B在双曲线上,由定义可求|BC|-|BA|.【解析】由条件可知|BC|-|BA|=10,且|AC|=12,又在ABC中,有|BC|sinA=|AB|sinC=|AC|sinB=2R,从而sinA-sinCsinB=|BC|-|AB|AC|=56.答案:567.(2016烟台高二检测)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(-5,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是.【解析】设双曲线方程为x2a2-y2b2=1,因为c=5,c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以x2a2-y25-a2=1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2),则P点的坐标为(5,4).代入双曲线方程得5a2-165-a2=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线方程为x2-y24=1.答案:x2-y24=18.已知双曲线x29-y216=1上一点M的横坐标为5,则点M到左焦点的距离是.【解题指南】利用双曲线的定义求解.【解析】由于双曲线x29-y216=1的右焦点为F(5,0),将xM=5代入双曲线方程可得|yM|=163,即为点M到右焦点的距离,由双曲线的定义知M到左焦点的距离为163+23=343.答案:343三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知双曲线与椭圆x227+y236=1有相同的焦点,且与椭圆的一个交点的纵坐标为4,求双曲线的方程.【解析】椭圆的焦点为F1(0,-3),F2(0,3),故可设双曲线方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),且c=3,a2+b2=9.由条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4,可得两交点的坐标为A(15,4),B(-15,4),由点A在双曲线上知,16a2-15b2=1.解方程组a2+b2=9,16a2-15b2=1,得a2=4,b2=5.所以所求双曲线的方程为y24-x25=1.10.如图,在ABC中,已知|AB|=42,且三内角A,B,C满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.【解析】以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,则A(-22,0),B(22,0).由正弦定理,得sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R(R为ABC的外接圆半径).因为2sinA+sinC=2sinB,所以2a+c=2b,即b-a=c2,从而有|CA|-|CB|=12|AB|=222)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016合肥高二检测)已知双曲线x26-y23=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上,且MF1x轴,则F1到直线F2M的距离为()A.365B.566C.65D.56【解析】选C.设F1到直线F2M的距离为d,不妨设点F1(-3,0),容易计算得出|MF1|=62,|MF2|-|MF1|=26.解得|MF2|=526.而|F1F2|=6,在直角三角形MF1F2中,由12|MF1|F1F2|=12|MF2|d,求得F1到直线F2M的距离d为65.2.(2016沈阳高二检测)已知点P在曲线C1:x216-y29=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是()A.6B.8C.10D.12【解析】选C.由双曲线的知识可知:C1:x216-y29=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8,而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的半径分别是r1=1,r2=1,所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,所以|PQ|-|PR|的最大值为:(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10.【补偿训练】(2016太原高二检测)设F1,F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,有PF1PF2=0,则|PF1+PF2|=()A.10B.210C.5D.25【解析】选B.因为PF1PF2=0,所以PF1PF2,即PF1F2为直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(210)2=40,|PF1+PF2|=(PF1+PF2)2=|PF1|2+|PF2|2+2PF1PF2=40=210.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016黄冈高二检测)已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点,A(1,4),点P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值是.【解析】由双曲线x24-y212=1,得c=4,所以左焦点F(-4,0),右焦点F(4,0),由双曲线的定义得:|PF|-|PF|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF|+|PA|4+|AF|=4+(1-4)2+42=9,此时P为AF与双曲线的交点,即|PF|+|PA|的最小值为9.答案:94.(2016杭州高二检测)已知双曲线的两个焦点为F1(-5,0),F2(5,0),M是此双曲线上一点,若MF1MF2=0,|MF1|MF2|=2,则该双曲线的方程是.【解析】设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),由题意得|MF1|-|MF2|=2a,|MF1|2+|MF2|2=(25)2=20,又因为|MF1|MF2|=2,所以|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|MF2|=4a2,即20-22=4a2,所以a2=4,b2=c2-a2=5-4=1,所以双曲线的方程为x24-y2=1.答案:x24-y2=1三、解答题(每小题10分,共20分)5.当0180时,方程x2cos+y2sin=1表示的曲线怎样变化?【解析】(1)当=0时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=1和x=-1.(2)当090时,方程为x21cos+y21sin=1.当045时,01cos1sin,它表示焦点在y轴上的椭圆.当=45时,它表示圆x2+y2=2.当451sin0,它表示焦点在x轴上的椭圆.(3)当=90时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=1和y=-1.(4)当90180时,方程为y21sin-x21-cos=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.(5)当=180时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.【误区警示】解答本题时容易忽略=90的情况.6.(2016济南高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,F1PF2=60,求P到x轴的距离.【解析】因为|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|2-2|PF1|PF2|+|PF2|2=4,所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|PF2|,由余弦