抛物线方程及性质的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.过抛物线y2=4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在【解析】选B.由定义|AB|=5+2=7，因为|AB|min=4，所以这样的直线有两条.【补偿训练】过点M(3，2)作直线l与抛物线y2=8x只有一个交点，这样的直线共有()A.0条B.1条C.2条D.3条【解析】选B.因为点M(3，2)在抛物线y2=8x的内部，所以过点M平行x轴的直线y=2适合题意，因此只有一条.2.(2015全国卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，点A，B是C的准线与E的两个交点，则AB=()A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，右焦点为(c，0)，依题意得c=2,ca=12,解得a=4，由b2=a2-c2=16-4=12，所以椭圆E的方程为x216+y212=1，因为抛物线C：y2=8x的准线为x=-2，将x=-2代入到x216+y212=1，解得A(-2，3)，B(-2，-3)，故AB=6.3.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|，则k=()A.13B.23C.23D.223【解析】选D.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由y=k(x+2),y2=8x,消去y得，k2x2+4x(k2-2)+4k2=0，所以x1+x2=4(2-k2)k2，x1x2=4.由抛物线定义得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，又因为|AF|=2|BF|，所以x1+2=2x2+4，所以x1=2x2+2代入x1x2=4，得x22+x2-2=0，所以x2=1或-2(舍去)，所以x1=4，所以4(2-k2)k2=5，所以k2=89，因为k0，所以k=223.4.(2015商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A.34B.32C.1D.2【解析】选D.由题意知，抛物线的准线l：y=-1，过A作AA1l于A1，过B作BB1l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1l于M1，则|MM1|=|AA1|+|BB1|2.|AB|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|+|BF|6，|AA1|+|BB1|6，2|MM1|6，|MM1|3，故M到x轴的距离d2.【拓展延伸】“两看两想”的应用与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.【补偿训练】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B.3C.5D.92【解析】选A.抛物线y2=2x的焦点为F12,0，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0，2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0，2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0，2)的距离.因此所求的最小值等于122+(-2)2=172.5.(2015青岛高二检测)在平面直角坐标系内，点P到点A(1，0)，B(a，4)及到直线x=-1的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，那么a=()A.1B.2C.2或-2D.1或-1【解题指南】满足条件的点P恰好只有一个，可以从点P满足的方程有唯一解入手.【解析】选D.依题意得，一方面，点P应位于以点A(1，0)为焦点、直线x=-1为准线的抛物线y2=4x上；另一方面，点P应位于线段AB的中垂线y-2=-a-14(x-a+12)上.由于要使这样的点P是唯一的，因此要求方程组y2=4x,y-2=-a-14(x-a+12)有唯一的实数解.结合选项进行检验即可.当a=1时，抛物线y2=4x与线段AB的中垂线有唯一的公共点，适合题意；当a=-1时，线段AB的中垂线方程是y=12x+2，易知方程组y2=4x,y=12x+2有唯一实数解.综上所述，a=1或a=-1.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知点F为抛物线y2=-8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值是_.【解析】由|AF|=4及抛物线定义得A到准线的距离为4.所以A点横坐标为-2，所以A(-2，4)或A(-2，-4).又原点关于准线的对称点的坐标为B(4，0)，所以|PA|+|PO|的最小值为|AB|=36+16=213.答案：2137.(2015延安高二检测)过抛物线y2=2px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则|AF|BF|的值是_.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，易知直线AB的方程为y=3x-32p，代入抛物线方程y2=2px，可得3x2-5px+34p2=0，所以x1+x2=53p，x1x2=p24，可得x1=32p，x2=p6，可得|AF|BF|=x1+p2x2+p2=3p2+p2p6+p2=3.答案：38.(2015黄石高二检测)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点.若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为_.【解析】容易求得抛物线方程为y2=4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y12=4x1，y22=4x2，两式相减得y22-y12=4(x2-x1).整理得y2-y1x2-x1=4y2+y1，由于kAB=y2-y1x2-x1，而AB中点为(2，2)，所以y2+y1=4，于是kAB=44=1，因此直线方程为y-2=x-2，即y=x.答案：y=x三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.(1)求证:OAOB.(2)当OAB的面积等于10时,求k的值.【解析】(1)如图所示,由y2=-x,y=k(x+1),消去x得,ky2+y-k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1y2=-1,y1+y2=-1k.因为A,B在抛物线y2=-x上,所以y12=-x1,y22=-x2,所以y12y22=x1x2.因为kOAkOB=y1x1y2x2=y1y2x1x2=1y1y2=-1,所以OAOB.(2)设直线与x轴交于点N,显然k0.令y=0,得x=-1,即N(-1,0).因为SOAB=SOAN+SOBN=12|ON|y1|+12|ON|y2|=12|ON|y1-y2|,所以SOAB=121(y1+y2)2-4y1y2=12-1k2+4.因为SOAB=10,所以10=121k2+4,解得k=16.10.(2015大连高二检测)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程.(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.【解题指南】(1)利用点P(1，2)在抛物线上可求方程.(2)倾斜角互补意味着斜率互为相反数，然后利用点差法求解.【解析】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px(p0).因为点P(1，2)在抛物线上，所以22=2p1，解得p=2.故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=-1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA=y1-2x1-1(x11)，kPB=y2-2x2-1(x21)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA=-kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y12=4x1,y22=4x2,所以y1-214y12-1=-y2-214y22-1，所以212y1-112y1-112y1+1=-212y2-112y2-112y2+1，所以y1+2=-(y2+2).所以y1+y2=-4.由-得，y12-y22=4(x1-x2)，所以kAB=y1-y2x1-x2=4y1+y2=-1(x1x2).(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015银川高二检测)已知抛物线y2=2px(p0)，过点E(m，0)(m0)的直线交抛物线于点M，N，交y轴于点P，若PM=ME，PN=NE，则+=()A.1B.-12C.-1D.-2【解析】选C.由题意设过点E的直线方程为y=k(x-m).代入抛物线方程，整理可得k2x2+(-2mk2-2p)x+m2k2=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=2p+2mk2k2，x1x2=m2.由PM=ME,PN=NE可得x1=(m-x1),x2=(m-x2),则+=x1m-x1+x2m-x2=x1(m-x2)+x2(m-x1)(m-x1)(m-x2)=m(x1+x2)-2x1x2m2+x1x2-m(x1+x2)=m(x1+x2)-2m22m2-m(x1+x2)=-1.【补偿训练】设双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于()A.3B.2C.5D.6【解析】选C.双曲线的渐近线方程为y=bax.因为渐近线与y=x2+1相切，所以x2+bax+1=0有两相等根，所以=b2a2-4=0，所以b2=4a2，所以e=ca=c2a2=a2+b2a2=5.2.(2014四川高考)已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OAOB=2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.1728D.10【解析】选B.可设直线AB的方程为：x=ty+m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AB与x轴的交点M(m，0)，由x=ty+my2=xy2-ty-m=0，所以y1y2=-m，又OAOB=2x1x2+y1y2=2(y1y2)2+y1y2-2=0，因为点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，所以y1y2=-2，故m=2，又F14,0，于是SABO+SAFO=122|y1-y2|+1214|y1|=|y1+2y1|+18|y1|=98|y1|+2|y1|298|y1|2|y1|=3，当且仅当98|y1|=2|y1|，即|y1|=43时取“=”，所以ABO与AFO面积之和的最小值是3.【补偿训练】(2015龙岩模拟)已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆(x-3)2+(y-1)2=1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为()