2.4抛物线一、选择题1. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）A B2 C D4答案：D解析：解答：椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则.分析：本题主要考查了抛物线线的简单性质，解决问题的关键是根据所给抛物线与椭圆的有关性质进行计算即可.2. 抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D.答案：D解析：解答：抛物线方程为，=1,又焦点在轴的正半轴，焦点坐标为，选D.分析：本题主要考查了抛物线的定义，解决问题的关键是根据抛物线的定义进行计算即可.3. 已知两个正数，的等差中项是，一个等比中项是，且，则抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 答案：B解析：解答：依题意，解得，抛物线方程为，其焦点的坐标为，选B.分析：本题主要考查了抛物线线的简单性质，解决问题的关键是根据抛物线线的简单性质结合所给a,b满足条件计算即可.4. 将抛物线y=4x2绕焦点逆时针方向旋转90后,所得抛物线的准线方程是( )A.x=2 B.y=-2 C.x= D.x=答案：C解析：解答：设抛物线x2=y的焦点为F,则F(0,),旋转后顶点为(,),准线为x=+=,故应选C.分析：本题主要考查了抛物线线的简单性质，解决问题的关键是根据旋转后的抛物线性质计算即可.5. 已知抛物线的焦点为F，A, B是该抛物线上的两点，弦AB过焦点F，且，则线段AB的中点坐标是（ ）A.B.C.D.答案：C解析：解答：抛物线y2=4xP=2，设经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，AB中点横坐标为x0= (x1+x2)= (|AB|-P)=1，故选C分析：本题主要考查了抛物线的定义、直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是根据抛物线定义结合直线与抛物线关系计算即可.6. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（ ）AB CD答案：A解析：解答：抛物线方程可化为：，焦点，设线段中点的坐标为，所以，代入抛物线方程得：，即.分析：本题主要考查了圆锥曲线的轨迹问题，解决问题的关键是根据动点转移方法求得轨迹即可.7. 连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则三角形的面积为（ ）A. B. C. D.答案：B解析：解答：因为F(0,1),所以直线FM的方程为x+y-1=0,与抛物线联立消x得.分析：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是根据直线与圆锥曲线的关系列式计算即可.8. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（ ） A B C D 答案：C解析：解答：根据题意画出简图，设及；则点到准线的距离为，得： 又，的面积为。分析：本题主要考查了抛物线线的简单性质，解决问题的关键是抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离这一性质特别重要，解题时经常用到.9. 已知点在抛物线上，则点到直线的距离和到直线 的距离之和的最小值为（ ）A.B.C.D.答案：C解析：解答：由抛物线的定义知，点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F（1，0）的距离相等，所以点到直线的距离和到直线 的距离之和等于d+|PF|,显然最小值为点F到直线的距离，由点到直线的距离公式可知.分析：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是利用抛物线的定义把点P到直线x=-1的距离转化为点P到焦点F的距离，从而找到解决问题的方法10. 已知直线与抛物线相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则实数k的值为 （ ）A B C D答案：D解析：解答：设抛物线的准线为l：x=-2直线y=k（x+2）（k0）恒过定点P（-2，0）如图过A、B分别作AMl于M，BNl于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|= |AF|，|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1，2 )k=，故选D分析：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是根据直线与抛物线的位置关系结合所给条件分析计算即可.11. 抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（ ）A（1，1）B（）CD（2，4）答案：A解析：解答：利用数形结合思想，抛物线上到直线的距离最短的点，就是与平行的直线与抛物线的切线的切点，应用导数求切线斜率或运用方程组整理得一元二次方程，由判别式为零，选A分析：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是利用数形结合思想，转化为求切点问题，从方法上选择余地较大，属基础题12. 设抛物线，直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，若为的准线上一点，的面积为，则（ ）A. B. C. D.答案：C解析：解答：因为直线 过焦点且 轴 ,所以 的方程为 ,与抛物线方程联立求出 , ,所以 又点 在准线 上,所以三角形 边 上的高的长为 ,所以.分析：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是根据直线与圆锥曲线的关系结合有关几何性质列示计算即可.13. 将两个顶点在抛物线上，另一个顶点，这样的正三角形有（ ）A.0个 B.2个 C.4个 D.1个答案：C解析：解答：通过画图，可知有4个。分析：本题主要考查了抛物线线的简单性质，解决问题的关键是根据抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离进行作图分析即可.14. 抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（ ）A y 2=-2xB y 2=-4xC y 2=2xD y 2=-4x或y 2=-36x答案：B解析：解答：因为抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，所以可设抛物线方程为，其焦点为（），准线为，那么由抛物线定义知（-5，m）到焦点距离是6，即（-5，m）到准线距离是6，所以+5=6，=2，y 2=-4x，故选B分析：本题主要考查了抛物线的定义，解决问题的关键是明确抛物线的焦点、准线，将“抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6”转化为“（-5，m）到准线距离是6”.15. 已知点是双曲线的左焦点，离心率为，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点，且点在抛物线上，则（ ）A B C D答案：D解析：解答：如图，设抛物线y2=4cx的准线为l，作PQl于Q，双曲线的右焦点为，由题意可知F为圆x2+y2=c2的直径，设P（x，y），（x0），则PPF，且tanPFF，满足，将（1）代入（2）得x2+4cx-c2=0，则x=-2c，即x=，或x=（舍去）将x=代入，得，即y，再将y代入得，即)，即e2=1+=.故选D分析：本题主要考查了圆与圆锥曲线的综合，解决问题的关键是根据抛物线线的简单性质结合圆与抛物线的关系分析计算即可.二、填空题16. 抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且它过点P，则抛物线的方程是 _.答案：或解析：解答：焦点在x轴上时，设方程为，代入P点得，方程为焦点在y轴上时，设方程为，代入P点得，方程为分析：本题主要考查了抛物线线的简单性质，解决问题的关键是根据所给条件结合抛物线线的简单性质进行计算即可.17. 点是抛物线上一个动点，则点到点的距离与点到直线的距离和的最小值是 答案： 解析：解答：设点P到直线x=-1的距离为d,抛物线的焦点为F(1,0),由于x=-1是抛物线的准线，由抛物线的定义知点P到直线x=-1的距离等于|PF|，所以求|PA|+d的最小值就是求|PA|+|PF|的最小值，连接AF与抛物线的交点就是所求点P的位置。此时|PA|+|PF|最小。最小值为|AF|=分析：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是根据抛物线的定义结合有关性质进行计算即可.18. 已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于两点则的值等于 答案：8解析：解答：抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，则直线方程为y=x-1，代入抛物线方程y2=4x得x2-6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）x1+x2=6根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+=x1+x2+p=6+2=8故答案为：8分析：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是根据直线与圆锥曲线的关系结合抛物线的定义计算即可.19. 已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 答案：解析：解答：抛物线焦点，由题意，且并被轴平分，所以点在双曲线上，得，即，即，所以，故.分析：本题主要考查了抛物线线的简单性质，解决问题的关键是根据抛物线与双曲线的关系结合为直角三角形进行分析计算即可.20. 已知M是抛物线：（p0） 上的动点，过M分别作y轴与4x-3y+5=0的垂线，垂足分别为A、B，若的最小值为，则p=_ 答案：5解析：解答：设M（x，y），则=x+= x+由M（x，y）在抛物线：（p0） 上， 得（y），代人上式得= （y），又（p0），故p=5.分析：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是抛物线有关性质结合直线与抛物线的关系列式计算即可.三、解答题21. 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程(1)过点(3，2)；答案：解：设所求抛物线的方程为y22px或x22py(p0)过点(3，2)，42p(3)或92p2.p或p.所求抛物线的方程为y2x或x2y，前者的准线方程是x，后者的准线方程是y.(2)焦点在直线x2y40上答案：（令x0得y2，令y0得x4，抛物线的焦点为(4，0)或(0，2)当焦点为(4，0)时，4，p8，此时抛物线的方程为y216x；焦点为(0，2)时，2，p4，此时抛物线的方程为x28y.所求抛物线的方程为y216x或x28y，对应的准线方程分别是x4，y2.解析：分析：本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线线的简单性质，解决问题的关键是根据所给条件结合抛物线线的简单性质计算即可.22. 已知点A(3,2), 点P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点，求的最小值及此时P点的坐标答案：解： 设点P在准线上的射影为D,记抛物线y22x的焦点为F（1,0），准线l是x= -1，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，即