1.2.1 任意角的三角函数(二)班级:_姓名:_设计人:_日期:_课前预习 预习案温馨寄语谁有进取的意志，谁就干得成。罗曼罗兰学习目标 1理解三角函数线的概念.2会利用三角函数线比较三角函数值的大小，会解简单的三角不等式.学习重点 三角函数线的做法及其简单应用学习难点 利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的集合形式表示出来自主学习 有向线段和三角函数线(1)有向线段:_的线段.(2)三角函数线：如图为角的三种三角函数线，sin =_，cos =_，tan =_.预习评价 1有三个说法：和的正弦线相等；和的正切线相等；和的余弦线相等.其中正确的有A.1个 B.2个 C.3个 D.0个2若角的余弦线的长度为且方向与x轴的正方向相反，则cos=_.3利用单位圆中的三角函数线求不等式的解集是_.知识拓展 探究案合作探究 1三角函数线已知任意角与单位圆交于点P(x，y)，过P点作PM丄x 轴于点M，根据三角函数的定义知：, 这些值是否有一定的几何意义呢？请根据图形思考下面的问题：(1)由图知 ，问怎样规定一个适当的方向使线段OM，MP的取值与点P 的坐标一致？(2)如何在单位圆中找像OM，MP这样的线段来表示角 的正切？2如图为角，的三角函数线，请根据图中的三角函数线，完成下列填空：(用“”或“填空)(1)sin_sin. (2)cos_cos. (3)tan_tan .教师点拨 对三角函数线的三点说明(1)余弦线是以原点为起点，正弦线和正切线是以此线段与坐标轴的交点为起点.(2)三角函数线不只是一条线段，它们是有起点和终点的，即三角函数线是有方向的.(3)任何角的正弦线、余弦线总是存在的，但是正切线不一定存在.交流展示任意角的三角函数线 1设03cos，则的取值范围是A.(3，2)B.(3，)C.(3，43)D.(3，2)(43，32)2已知是锐角，若sin0的解集为_交流展示利用三角函数线比较三角函数值的大小 若4costanB.costansinC.sintancosD.tansincos变式训练 利用三角函数线证明：若0sin-sin交流展示利用三角函数线解简单三角不等式 4若是第一象限角，则sin+cos的值与1的大小关系是A.sin+cos1B.sin+cos=1C.sin+coscos x成立的x的取值范围是.变式训练 若sin32,则角的取值范围为 学习小结 1三角函数线的作法步骤(1)作直角坐标系和角的终边.(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A.(3)过点P作x轴的垂线，垂足为M.(4)过点A 作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T.(5)有向线段MP，OM，AT即为角的正弦线、余弦线和正切线2利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向.3利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围.(2)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求当堂检测 1若角的余弦线是单位长度的有向线段那么角的终边在A.y轴上B.x轴上C.直线y=x上D.直线y=-x上2已知为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为sin+cos的值的是A.43B.35C.45D.3已知点P(sin+cos，tan)在第二象限，则角的取值范围是_ 知识拓展 1 利用三角函数线求满足下列条件的角的集合(1)tan=-1；(2)sinsin，coscos ，tantan. (1) (2) (3)【交流展示任意角的三角函数线】1C【解析】本题主要考查三角不等式的解法.sin3cos，当cos0，sin0时，显然成立，此时的取值范围是2，)当cos0，sin=0时，显然成立，此时=当sin0，cos0时，0tan0时，tan3，x(3，2)综上可得，(3，43)2(0，4)【解析】本题主要考查利用三角函数线求解不等式.如图单位圆中，0MPOM，04【变式训练】|k-6k+2，kZ【解析】不等式的解集如图所示(阴影部分)【交流展示利用三角函数线比较三角函数值的大小】D【解析】本题主要考查三角函数线的应用.41，cossinsincos【变式训练】证明：如图，单位圆与轴正半轴交于点，与角的终边分别交于点，过分别作的垂线，设垂足分别为，则由三角函数线定义可知：，过点作于，则.由图可知，即.【交流展示利用三角函数线解简单三角不等式】4A【解析】本题主要考查利用三角函数线比较大小.如图，设角的终边与单位圆交于P点，过P作PMx轴于M点，由三角形两边之和大于第三边可知sin+cos1故选A.5(4,54)【解析】由三角函数定义结合三角函数线知,在(0,2)内,使sin xcos x成立的x的取值范围为(4,54).【变式训练】|2k+32k+23,kZ【解析】本题考查三角函数线的应用.借助于单位圆中的正弦线,可以确定的终边所在的区间,再考虑终边的临界位置,就可以得出角的范围.如图,作直线y=32交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,分别过点A,B作x轴的垂线,垂足分别为M1,M2,则有向线段M1A,M2B为两条正弦线.易知,这两条正弦线的值等于32,在0,2)内, sin3=32,sin23=32,则图中阴影部分即为角终边的范围,其范围为|2k+32k+23,kZ.【备注】利用单位圆中的三角函数线,求简单三角不等式f()m或f()m(其中m一般为一些特殊角的三角函数值)的解集,关键是标出f()=m的两个角的终边,结合三角函数线确定角在01,故选A.32k-42k或2k+20tan0，如图可知，的取值范围是2k-42k或2k+22k+34(kZ)【知识拓展】解：(1)如下左图所示，过点(1，-1)和原点作直线交单位圆于点P和P，则OP和OP就是角的终边，xOP=34=-4，xOP=-4，满足条件的所有角的集合是|=-4+k，kZ(2)如上右图所示，过点(0，-12)作x轴的平行线，交单位圆于点P和P，则sinxOP=sinxOP=-12，xOP=116，xOP=76，满足条件的所有角的集合是|76+2k116+2k，kZ【解析】本题主要考查利用三角函数线求解角的范围.