专题二 犹抱琵琶半遮面 例谈函数的奇偶性 函数的奇偶性作为一种重要的函数性质，体现了函数的对称性。具体表现在（1）函数图像的对称性（奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称）（2）函数的数值上；（3）函数数关系式上。理解和把握函数的奇偶性，对解决函数问题常常可起到事半功倍的作用，而很多问题都给人以犹抱琵琶半遮面的感觉，需要深刻理解函数奇偶性，才能做到“千呼万唤使出来”。【金题典例2】（必修1第39页习题1.3题A组第6题）已知函数 是定义域在R 上的奇函数，当 时，。画出函数的图象，并求出函数的解析式。【答案】见解析【解题反思】本题先利用奇函数的图象关于原点对称画出函数的图象，在利用奇函数的定义求出函数的解析式利用奇偶性求函数解析式，此类问题的一般做法是：“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内利用的奇偶性f(x) =f( x)或f(x) =f(x) 要利用已知区间的解析式进行代入，从而解出f(x) 变式1. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当x0时，（1）求函数的解析式（2）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间【答案】见解析【解析】（1）是定义在R上的奇函数f（0）=0，设x0，又是奇函数，（2）函数的图象为函数的单调减区间为：（，0），（0，+），无单调增区间变式2.已知函数是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x）=x2+4x（1）求函数的解析式；（2）画出函数的大致图象，并求出函数的值域；（3）若kR，试讨论方程f（x）=k实数解的个数【答案】见解析【解析】（1）设x0，可得x0，当x0时，f（x）=x2+4x，f（x）=（x）2+4（x）=x24x，函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（x）=f（x），f（x）=f（x）=x24x，（2）图象如图如上图可知：f（x）的值域为：值域为f（x）4，+） 变式3. 已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断.【答案】见解析【解析】在上是减函数证明设x1x20则-x1-x20在（0，+）上是增函数f（-x1）f（-x2）又是偶函数f（-x1）=f（x1），f（-x2）=x2）f（x1）f（x2）在（-，0）上是减函数。1.已知函数为奇函数，且当时， ，则（ ）A. -2 B. 0 C. 1 D. 22.已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A. B. C. D. 3.函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的的取值范围是( )A B C D 4.已知定义域为的奇函数满足，且当时， ，则（ ）A. -2 B. C. 3 D. 5.若是定义在上的函数，且满足：是偶函数；是偶函数；当时， ，当时， ，则方程在区间内的所有实数根之和为（ ）A. 0 B. 10 C. 12 D. 246.若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.7.函数f(x)lg 为奇函数，则实数a_.8.设函数是上的偶函数,当时, ,函数满足,则实数的取值范围是 9.已知函数为奇函数， ，若，则数列的前项和为 10.设是定义在上的偶函数， ； ，若的图象与的图象的交点分别为， ， ，则_11已知函数是定义在上的偶函数，已知当时， .（1）求函数的解析式；（2）画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间；（3）求在区间上的值域.12已知定义在上的奇函数，当时， （1）求函数在上的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围。参考答案1.【答案】A【解析】函数为奇函数,且当时, ，故选A.3.【答案】D【解析】由已知，使成立的满足，所以由得，即使成立的满足，选D.4.【答案】D【解析】因为奇函数满足，所以，即周期为3，所以 ，故选D5.【答案】D【解析】因为是偶函数，所以.即函数关于轴对称；又是偶函数，所以.所以有，即函数是周期为4的周期函数.可做出函数的简图，如图所示， 在区间内共有4个交点， .可得.和为8+16=24，故选D.6.【答案】17.【答案】1【解析】根据题意得，使得函数有意义的条件为a0且1x0.由奇函数的性质可得f(0)0.所以lg(a2)0即a1，a1满足函数的定义域8.【答案】【解析】因为时, 单减,而是上的偶函数,所以时, 单增;即时, 单增;而时, 单增;所以函数是上的增函数;而,所以,解得;所以实数的取值范围是.9.【答案】2016【解析】函数为奇函数图象关于原点对称，函数的图象关于点(,0)对称，函数的图象关于点(,1)对称，数列的前2016项之和为，点睛：本题主要考查函数的奇偶性及对称性结合数列，抓住通项特征可以看出是首尾相加是定值，采用倒序相加会很快得出答案。10.【答案】11.【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.【解析】分析：（1）设 ，则 ，利用当 时， ，结合函数为偶函数，即可求得函数解析式；（2）根据图象，可得函数的单调递增区间；（3）确定函数在区间 上的单调性，从而可得函数在区间上的值域.试题解析：（1）函数是定义在上的偶函数对任意的都有成立， 当时， 即， （2）图形如右图所示，函数的单调递增区间为和.（写成开区间也可以）(3)由图象，得函数的值域为.【点睛】本题考查函数的解析式，考查函数的单调性与值域，其中合理应用数形结合的数学思想，是解题的关键12.【答案】（1） ； （2） (1,3【解析】分析：（1）根据奇函数求对称区间上的函数解析式，先设，再根据奇函数求解；（2）分段函数的单调性在各段上是增函数，两段的最值之间的大小关系要处理好.试题解析：（1）设x0, 又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x) 于是x0时 所以 （2）要使f(x)在-1,a-2上单调递增,结合f(x)的图象知 所以故实数a的取值范围是(1,3 知识回顾：函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称函数奇偶性的定义及基本结论1. 函数f(x)的定义域为D，xD，D关于原点对称， f(-x)=f(x) f(x)是偶函数； f(-x)=-f(x)是奇函数 2. 奇偶性的判定：作和差f(-x) f(x)=0 判定；作商f(x)/f(-x)= 1,f(x)0 判定3. 奇、偶函数的必要条件是：函数的定义域关于原点对称4. 函数的图象关于原点对称-奇函数； 函数的图象关y轴对称-偶函数5. 函数既为奇函数又为偶函数 f(x)=0,且定义域关于原点对称;6.复合函数的奇偶性：奇奇=奇，偶偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇几个重要的结论1. 函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线对称。2. 函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线对称。3. 函数满足的充要条件是图象关于直线。对称。任务型阅读在江苏高考英语试题中占有较大比重,考题形式以表格形和树状形为主,文章体裁以议论文、说明文为主,文章篇幅往往较长,阅读量大,但结构清晰。该题型综合性很强,思维含量较高,答案既要忠实于原文,又要不局限于原文,原词填空题和词性、词形变换题在逐渐减少,通过归纳总结得出答案的题逐渐增多,另外还有推断作者意图和态度的考题,这必将增加该题型的难度,所以得分一直偏低9