生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题，这些问题通常 称为优化问题。通过前面的学习，我们 知道，导数是求函数最大(小)值的有力 工具。本节我们运用导数，解决一些生 活中的优化问题。 情景设置 解决优化问题的基本思路是： 优化问题用函数表示的数学问题 优化问题 的答案 用导数解决数学问题 思路小结 上述解决优化问题的过程是一个 典型的数学建模过程。 导数与优化问题 【例1】用长为90cm，宽为48cm的长方 形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分 别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90角，再焊接而成(如图),问该容器的高 为多少时，容器 的容积最大？最大 容积是多少？ 【例2】在甲、乙两个工厂，甲厂位 于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂 在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B 处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C， 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别 为每千米3a元和5a元，问供水站C建在 岸边何处才能使水管费用最省？ 【例3】如图，有一块半椭圆形钢板，其 半轴长为 ，短半轴长为 ，计划将此钢 板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半 椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上， 记 ，梯形面积为S 。 (I)求面积S以 为自变 量的函数式，并写出其 定义域； (II)求面积S的最大值。 【例4】某地有三家工厂,分别别位于矩形 ABCD 的顶顶点A, B 及CD的中点P 处处,已知 AB=20km,CB =10km ,为为了处处理三家工厂 的污污水,现现要在矩形ABCD 的区域上(含边边 界),且A,B 与等距离的一点O 处处建造一个 污污水处处理厂, 并铺设铺设 排污污管道AO，BO, OP ,设设排污污管道的总总 长为长为 y km。 (I) 按下列要求写出函数关系式： 设设 (rad)，将 表示成 的函数关系式； 设设 (km) ，将 表示成 的函数关系式。 (II)请请你选选用(I)中的一个函数关系式，确 定污污水处处理厂的位置，使三条排污污管道 总长总长 度最短。 【例5】两县城A和B相距20km，现计划在 两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择 一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响 度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A和城B的总影响度为城A与城B的影响度 之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C 处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为 y, 统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影 响度与所选地点到城A的距离的平方成反 比，比例系数为4； 对城B的影响度与所选地点到城B的距 离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾 处理厂建在AB的中点时，对城A和城B 的总影响度为0.065。 （ 1 ）将y表示成x的函数； （ II ）讨论（1）中函数的单调性，并 判断弧AB上是否存在一点，使建在此 处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响 度最小？若存在，求出该点到城A的距 离; 若不存在，说明理由。 【例6】某商场销售某种商品的经验表明 ，该商品每日的销售量y (单位：千克)与 销售价格x(单位：元/千克)满足关系式 , 其中3x6, a为常数，已知销售价格为5 元/千克时, 每日可售出该商品11千克。 () 求a的值； () 若该商品的成品为3元/千克, 试确 定销售价格x的值,使商场每日销售该商品 所获得的利润最大。 【例7】某地建一座桥，两端的桥墩已建好 ，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端 桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩 的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两 墩之间的桥面工程费用为 万元.假 设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且 不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万 元。 （）试写出y关于x的函数关系式； （）当m=640米时，需新建多少个桥墩才 能使y最小？