原码、反码和补码的概念 本节要求 掌握原码、反码、补码的概念 知识精讲 数值型数据的表示按小数点的处理可分为定点数和浮点数；按符号 位有原码、反码和补码三种形式的机器数。 一计算机中数据的表示方法 1、数的定点与浮点表示 在计算机内部，通常用两种方法来表示带小数点的数，即所谓的定 点数和浮点数。 定点数：是小数点在数中的位置是固定不变的数，数的最高位为符 号位，小数点可在符号位之后，也可在数的末尾，小数点本身不需要表 示出来，它是隐含的。 缺点：只有纯小数或整数才能用定点数表示； 浮点数：小数点在数中的位置是浮动的、不固定的数。 一般浮点数既有整数部分又有小数部分，通常对于任何一个二进行 制数，总可以表示成： PS 、均为二进制数， 为的阶码，一般为定点整数,常用补码表示，阶码指明小数点在数 据中的位置，它决定浮点的表示范围 为N的尾数，一般为定点小数,常用补码或原码表示，尾数部分给出了 浮点数的有效数字位数，它决定 了浮点数的精度，且规格化浮点 数0.5|S|； 0.1B=( 1/2 )D =( 2-1 )D 0.11B=(1/2 + 1/4 )D =( 2-1 + 2-2 )D 0.111B=(1/2 + 1/4 + 1/8 )D =( 2-1 + 2-2 + 2-3)D - - 在计算机中表示一个浮点数其结构为： 阶码部分 尾数部分 阶符阶数尾符尾数 EfE1E2EmSfS1S2Sn 假设用八个二进制位来表示一个浮点数，且阶码部分占4位，其中 阶符占一位；尾数部分占4位，尾符也占一位。 若现有一个二进制数N（101100）2可表示为：1100.1011，则 该数在机器内的表示形式为： 101100B= 10110B * (21)D 101100B= 1011B * (22)D 101100B= 101.1B * (23)D 101100B= 10.11B * (24)D 101100B= 1.011B * (25)D 101100B= 0.1011B * (26)D=0.1011B * (2110)B 0 110 0 1101 一个浮点形式的尾数S若满足0.5|S|1，且尾数的最高位数为1，无 无效的0，则该浮点数称为规格化数；规格化数可以提高运算的精度。 S为原码表示，则 S=1 规格化数 S为补码表示 N为正数，则S1 N为负数，则S1 二、原码、反码和补码 1、机器数与真值 机器数：在计算机中数据和符号全部数字化，最高位为符号位，且 用0表示正、1表示负，那么把包括符号在内的一个二进制数我们称为机 器数，机器数： 有原码、反码和补码三种表示方法。 比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是 00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。 那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。 真值：用“+”、“”号表示的二进制数。 机器数因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的 数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值 是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为 区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。 例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1， 1000 0001的真值 = -000 0001 = -1 2、原码、反码和补码的概念 1）概念 机器数： 有原码、反码和补码三种表示方法。 原码：是最简单的机器数表示法。其数符位用0表示正，1表示负， 其余各位表示真值本身。 即用第一位表示符号， 其余位表示值，比如如果是8位二进 制： 1的原码是00000001， 1的原码是10000001。 反码：正数的反码同原码， 负数的反码为除符号位外，其它各位 按位取反。 正数的反码是其本身， 负数的反码是在其原码的基础上，符号 位不变，其余各个位取反 1的反码是00000001， 1的反码是11111110。 补码：正数的补码同原码，负数的补码为反码加1。 负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各 位取反, 最后+1 1的补码是00000001， 1的补码是11111110。 2）转换方法 当真值为正数时，原码、反码、补码 3种机器数的最高位均为0 当真值为负数时，原码、反码、补码 3种机器数的最高位均为1 机器数的最高位为符号位，其它位称为数值位。 当真值为正数时，原码=反码=补码； 当真值为负数时，三种机器数的符号位相同，均为1，原码的数值 位保持“原”样，反码的数值位是原码数值位的“按位取反”，补码的数值 位是原码的数值位的“按位取反”后再加1，简称“取反加1”。 当真值为负数时：补码 = 反码+1 当真值为负数时：原码 = 补码取补 补码 = 原码取补 -x补=模 - x补 x补=模 - -x补 比如8bit，模= 28=1_0000_0000 例如：（1）假设码长为8位，写出下列数的原码、反码和补码。 根据本题可得到结论：0的原码、反码各有两种表示方法，而补码 是唯一的全0表示。 真 值 +0-0+1-1+127-127-128 原 码 000000001000000000000001100000010111111111111111溢出 反 码 000000001111111100000001111111100111111110000000溢出 补 码 00000000000000000000000111111111011111111000000110000000 （2）假设码长为8位，写出原码、反码和补码所能表示定点整数和 定点小数的范围。 二进制定点 整数 十进制定 点整数 n位可表示 的个数 二进制定点 小数 十进制定点 小数 原 码 11111111 01111111 -127 +127 2n-1个 1.1111111 0.1111111 -127/128 +127/128 反 码 10000000 01111111 -127 +127 2n-1个 1.1111111 0.1111111 -127/128 +127/128 补 码 10000000 01111111 -128 +127 (-128)代 替了(-0) 2n个 1.1111111 0.1111111 -1-127/128 由此可见：n位的二进制数用原码表示，则可表示的数的个数为2n-1 个；n位的二进制数用反码表示，则可表示的数的个数为2n1个；n位 的二进制数用补码表示，则可表示的数的个数为n个。 比如：补码中用(-128)代替了(-0) 编程中常用到的32位int类型，可以表示范围是： -231 231 -1 因 为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值 -2G 2G -1 3、算术运算 计算机中的算术运算一般可采用补码进行，用补码表示的两个操作 数进行算术运算，符号位可直接参加运算，结果仍为补码。 定点补码加法运算 运算规则：x+y补x取补y补 定点补码减法运算 运算规则：xy补x+(-y)补x补y补 y补的求法是将y补的各位（包括符号位）全取反，最末位 加。 即将y补连同符号位一起取反加1便可得到y补。 -x补=模 - x补 x补=模 - -x补 比如8bit，模= 28 如： y补=10001010，则y补=01110110； -1补=28 - 1 补=1_0000_0000 - 0000_0001 = 1111_1111 y补=0100，则y补=1100； -(-1)补=28 - -1 补=1_0000_0000 - 1111_1111 = 0000_0001 注意：在进行运算时有时会发生溢出。 定点补码运算的溢出处理 采用补码运算时若结果的数值超出了补码所能表示的范围，则此种 情况称为溢出。 若计算结果比能表示的最大数还大则称为上溢，上溢时一般作溢出 中断处理； 若计算结果比能表示的最小数还小则称为下溢，下溢时一般作机器 零处理。 下面介绍用双符号判断溢出方法： 引入两个符号位Cs+1、Cs Cs+1用来表示两个符号位向更高位进位时的状态，有进位时 Cs+1=1，无进位时Cs+1=0； Cs用来表示两数值的最高位向符号位进位时的状态，有进位时 Cs=1，无进位时Cs=0； 当Cs+1Cs=00或11时，无溢出；当Cs+1Cs=01或10时，有溢出， 当双符号位为01时正溢出，当双符号位为10时负溢出； 例如：x补=10011100，y 补=10011000，则x+y补= 。 溢出，因为Cs+1Cs=10。故溢出逻辑表达式为VCs+1Cs 无符号数的运算 无符号数的运算实际上是指参加运算的操作数X、Y均为正数，且整 个字长全部用于表示数值部分。 当两个无符号数相加时，其值在字长表示的范围内，其结果为正 数。 当两个无符号数相减时，其值的符号位取决于两数绝对值的大小。 另外，地址在计算机中用无符号数表示。 四原码, 反码, 补码再深入 计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了 怎样的数学原理呢? 将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时 间设置成4点, 我们可以: 1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4 2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4 3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4 2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数 是4. 所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代! 现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例 子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能 靠感觉. 首先介绍一个数学中相关的概念: 同余 “模”是指一个计量系统的计数范围 例如：时钟的计量范围是011，模=12。 表示n位的计算机计量范围是02n -1，模=2n “模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出 来，计量器上只能表示出模的余数。任何有模的计量器，均可化减法 为加法运算。 比如：时钟（模=12）中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算， 都可以用加8来代替 对时钟（模=12）而言，8和4互为补数。 以12模的系统中，11和1；10和2；9和3；7和5；6和6都互为补数。共同 的特点是两者相加等于模 对于计算机，其概念和方法完全一样。 n位计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再加1称为 100000000(9位) 但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系 统的模为28。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补 数表示就可以了。 -x补=模 - x补 x补=模 - -x补 比如8bit，模= 28 -1补=28 - 1补=1_0000_0000 - 0000_0001 = 1111_1111 -(-1)补=28 - -1补=1_0000_0000 - 1111_1111 = 0000_0001 把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。 负数取模 x mod y = x - y*int( x / y ) int( x / y ) VB语法表示：不大于(x/y)的最大整 数，即向下取整 int(-1.5)=-2 Fix(-1.5)=-1 举例: -3 mod 2 = -3 - 2*int