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9.1直线的方程最新考纲考情考向分析1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.以考查直线方程的求法为主,直线的斜率、倾斜角也是考查的重点题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现,有时也会在选择、填空题中出现.1直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.(2)范围:直线l倾斜角的范围是0,180)2斜率公式(1)若直线l的倾斜角90,则斜率ktan_.(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上且x1x2,则l的斜率k.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(3)直线的倾斜角越大,其斜率就越大()(4)若直线的斜率为tan ,则其倾斜角为.()(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(6)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()题组二教材改编2P86T3若过点M(2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为()A1 B4C1或3 D1或4答案A解析由题意得1,解得m1.3P100A组T9过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_答案3x2y0或xy50解析当截距为0时,直线方程为3x2y0;当截距不为0时,设直线方程为1,则1,解得a5.所以直线方程为xy50.题组三易错自纠4(2018石家庄模拟)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析由直线方程可得该直线的斜率为,又10,所以倾斜角的取值范围是.5如果AC0且BC0,在y轴上的截距0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限6过直线l:yx上的点P(2,2)作直线m,若直线l,m与x轴围成的三角形的面积为2,则直线m的方程为_答案x2y20或x2解析若直线m的斜率不存在,则直线m的方程为x2,直线m,直线l和x轴围成的三角形的面积为2,符合题意;若直线m的斜率k0,则直线m与x轴没有交点,不符合题意;若直线m的斜率k0,设其方程为y2k(x2),令y0,得x2,依题意有22,即1,解得k,所以直线m的方程为y2(x2),即x2y20.综上可知,直线m的方程为x2y20或x2.题型一直线的倾斜角与斜率典例 (1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是 ()A. B.C. D.答案B解析直线2xcos y30的斜率k2cos ,因为,所以cos ,因此k2cos 1, 设直线的倾斜角为,则有tan 1, 又0,),所以,即倾斜角的取值范围是.(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为_答案(,1,)解析如图,kAP1,kBP,k(, 1,)引申探究1若将本例(2)中P(1,0)改为P(1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围解P(1,0),A(2,1),B(0,),kAP,kBP.如图可知,直线l斜率的取值范围为.2若将本例(2)中的B点坐标改为(2,1),其他条件不变,求直线l倾斜角的取值范围解如图,直线PA的倾斜角为45,直线PB的倾斜角为135,由图象知l的倾斜角的范围为0,45135,180)思维升华 直线倾斜角的范围是0,),根据斜率求倾斜角的范围时,要分与两种情况讨论跟踪训练 已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取到最大值时,直线l的倾斜角为()A150 B135 C120 D不存在答案A解析由y,得x2y22(y0),它表示以原点O为圆心,以为半径的圆的一部分,其图象如图所示显然直线l的斜率存在,设过点P(2,0)的直线l为yk(x2),则圆心到此直线的距离d,弦长|AB|22,所以SAOB21,当且仅当(2k)222k2,即k2时等号成立,由图可得k,故直线l的倾斜角为150.题型二求直线的方程典例 (1)求过点A(1,3),斜率是直线y4x的斜率的的直线方程;(2)求经过点A(5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程解(1)设所求直线的斜率为k,依题意k4.又直线经过点A(1,3),因此所求直线方程为y3(x1),即4x3y130.(2)当直线不过原点时,设所求直线方程为1,将(5,2)代入所设方程,解得a,所以直线方程为x2y10;当直线过原点时,设直线方程为ykx,则5k2,解得k,所以直线方程为yx,即2x5y0.故所求直线方程为2x5y0或x2y10.思维升华 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况跟踪训练 根据所给条件求直线的方程:(1)直线过点(4,0),倾斜角的正弦值为;(2)经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等;(3)直线过点(5,10),到原点的距离为5.解(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式设倾斜角为,则sin (00,b0,直线l的方程为1,所以1.|(a2,1)(2,b1)2(a2)b12ab5(2ab)54,当且仅当ab3时取等号,此时直线l的方程为xy30.命题点2由直线方程解决参数问题典例 已知直线l1:ax2y2a4,l2:2xa2y2a24,当0a2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求实数a的值解由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1在y轴上的截距为2a,直线l2在x轴上的截距为a22,所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a42,当a时,四边形的面积最小思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值(2)求直线方程弄清确定直线的两个条件,由直线方程的几种特殊形式直接写出方程(3)求参数值或范围注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解跟踪训练已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程解方法一设直线方程为1(a0,b0),把点P(3,2)代入得12,得ab24,从而SAOBab12,当且仅当时等号成立,这时k,从而所求直线方程为2x3y120.方法二由题意知,直线l的斜率k存在且k0,则直线l的方程为y2k(x3)(k0),且有A,B(0,23k),SABO(23k)(1212)12.当且仅当9k,即k时,等号成立即ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.求与截距有关的直线方程典例 设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数,求a.错解展示:现场纠错解(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为0,a2,方程即为3xy0.当直线不经过原点时,截距存在且均不为0,直线方程可写为1,a2,即a11.a0,方程即为xy20.综上,直线l的方程为3xy0或xy20.(2)由(a2),得a20或a11,a2或a2.纠错心得在求与截距有关的直线方程时,注意对直线的截距是否为零进行分类讨论,防止忽视截距为零的情形,导致产生漏解1直线xya0(a为常数)的倾斜角为()A30 B60C150 D120答案B解析化直线方程为y
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