南京财经大学 硕士学位论文 关于变分不等式问题的强收敛定理及其相关研究 姓名：黄宜朵 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：张从军 2011-01-06 南京财经大学硕士学位论文 I 摘 要 变分不等式问题，由于它和不动点问题、最优化问题、均衡问题、相补问题 的密切联系，以及在经济、金融等许多领域的广泛应用，日益受到诸多学者的关 注近年来，通过迭代算法获得变分不等式的逼近解，成为研究和应用变分不等 式理论的重要手段之一 本文在前人工作的基础上， 给出了关于变分不等式问题、 均衡问题的若干迭代算法，并进行了相应的收敛性分析 全文共分两章 第一章，我们在 Hilbert 空间中，给出了关于变分不等式问题与非扩张映射 的三步迭代序列， 证明了变分不等式问题解集与非扩张映射不动点集之交非空的 情况下，带误差的修正的三步迭代序列的强收敛定理，就逆强单调映射、松 弛( , ) r余强制映射等多种情况进行了讨论 第二章，我们在Banach空间中，给出了关于均衡问题的修正的Halpern迭 代算法，并获得了关于均衡问题解集与拟-非扩张映射不动点集之交的强收敛 定理 我们的结果是文献7-10，19-22等相应结果的改进和推广 关键词关键词: 变分不等式问题；均衡问题；松弛( , ) r余强制映射；拟-非扩张 映射；强收敛定理 南京财经大学硕士学位论文 II ABSTRACT Because variational inequalities problem is closely related to the fixed-point problem, optimization problem, equilibrium problem and complementarity problem, and is widely used in the economics, finance and many other fields, it is increasingly attracting scholars attention. In recent years, the method that we find the approximation solution of variational inequalities problem by iterative algorithms becomes an important tool to research and apply variational inequalities theories. In this paper, inspired and motivated by the previous scholars work, we introduce several iterative algorithms for variational inequalities problem and equilibrium problem, and prove their corresponding convergence theorems. Our paper is divided into two chapters. The first chapter， we give three-step iterations for variational inequalities and nonexpansive mappings in a Hilbert space, and obtain strong convergence theorems under the condition that the intersection between the set of solutions of the variational inequality and the set of fixed points of a nonexpansive mapping is nonempty, which is discussed at the mappings of inverse-strongly-monotone mapping, relaxed ( , ) rcocoercive mapping and so on. In chapter two, we give some new unified Halpern iterations for equilibrium problem in a Banach space, and obtain strong convergence theorems for equilibrium problem and quasi-nonexpansive mapping. Our results are the generalizations and extensions of the corresponding results obtained in 7-10，19-22 and so on. KEY WORDS: Variational inequalities problem；Equilibrium problem； Relaxed ( , ) rcocoercive mapping；Quasi-nonexpansive mapping； Strong convergence theorem 学位论文独创性声明学位论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外,不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果.其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意. 作者签名: 日期: 学位论文使用授权声明学位论文使用授权声明 本人完全了解南京财经大学有关保留、使用学位论文的规定,即:学校有权保 留送交论文的复印件,允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部或部分内 容,可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文.保密的论文在解密后遵守此规 定. 作者签名: 导师签名: 日期: 南京财经大学硕士学位论文 1 第第 1 章章 Hilbert 空间中关于变分不等式和非扩张映射 的强收敛定理 空间中关于变分不等式和非扩张映射 的强收敛定理 1.1 引言及预备知识 引言及预备知识 变分不等式理论是研究优化问题、微分方程、力学问题、对策论、控制论、 均衡问题以及其他数学和工程领域中线性和非线性问题的有力工具 它是目前应 用数学领域中备受关注的热点之一近年来，许多作者(如1-12)对该问题做了 较为全面和深入的研究 受这些工作的启发， 本章证明了在变分不等式问题解集与非扩张映射不动点 集之交非空的情况下，带误差的修正的三步迭代序列的强收敛定理，就逆强 单调映射、松弛( , ) r余强制映射等多种情况进行了讨论 下面给出本章用到的一些定义和记号 设H是一实Hilbert空间，其内积和范数分别为, 与，K是H中一闭凸 子集，A是K到H的一映射，变分不等式问题即为：找一向量xK，使得 ( ),0A xyx，yK (1.1) 我们将变分不等式问题(1.1)的解集简记为( ,)VI A K 定义定义 1.1 设:S KK是一映射如果满足 yxSySx，,x yK， 则称S为非扩张的如果对xK，满足xSx=，则称x为S的不动点，S的不动 点集记为)(SF如果存在常数0，使得AxAyxy，,x yK，则 称映射:A KH是Lipschitz连续的 定义定义 1.21 设H是一实Hilbert空间，K是H中的一非空闭凸子集，uH是 一给定的点若存在zK，使得min v K zuuv =，则称z是u在K上的投影， 即为( ) K zP u= 定义定义 1.31 若集值映射:2HT H 满足：对,x yH， fTx ，gTx，均 有,0xy fg， 则 称 T 为 单 调 映 射 若 单 调 映 射 T 的 图 像 南京财经大学硕士学位论文 2 ( )( ,):,G Tx fxH fTx=不包含于任何其他的单调映射的图像中，则称T 是 极大单调的 定义定义 1.48 如果 A满足 2 ,AuAv uvAuAv，, u vK， 则称映射:A KH为逆强单调映射 定义定义 1.58 如果T满足 222 ()()TuTvuvkIT uIT v+，, u vK， 则称映射:T KK为k 严格伪压缩映射 注注 1.1：当令AIT=时，k 严格伪压缩映射T满足： 21 , 2 k AuAv uvAuAv 定义定义 1.610 如果, x yK，存在常数,0r，使得 22 ,()AxAy xyAxAyr xy +， 则称:A KH为松弛( , ) r余强制映射 下面给出本章需要用到的一些引理 引理引理 1.11 设H是一实Hilbert空间，K是H中的一非空闭凸子集，则下面 结论成立： (1) zK是uH在K上的投影， 当且仅当z是变分不等式,0zu vz， vK 的解集； (2) 由H到K上的投影映射 K P是非扩张的； (3) 若:A KH是一非自映射，则uK是变分不等式( ),0A u vu， vK 的解，当且仅当u为映射() K PIA的不动点，其中0是任意的正数， K P是H到K上的投影 注注 1.2：若 * ( )(, )xF SVI K AI，则有 * ( )xF S， * (, )xVI K A，从而有 * ()() KK xSxPxAxSPxAx=，0 引理引理 1.210 给定的zH，uK，若满足,0uz vu，vK 当且仅 当 K uP z=成立，其中: K PHK是投影映射 南京财经大学硕士学位论文 3 引理引理 1.3 设H是一实Hilbert空间，K是H中一闭凸子集，则 (1) 8 , ,x y zH，,0,1 ，且1+=，有 2222222 xyzxyzxyxzyz+=+ (2) 10 , x yH，有 22 2,xyxy xy+ (3) 8 xK ，均有 K xP xxy，yK (4) 8 , x yH，均有 2 , KKKK xy P xP yP xP y， 222 KK xyxP xyP x+ 引理引理 1.48 设 , nn xy是Banach空间的有界序列，数列 n 满足： 0,1 n ， 且0liminflimsup1 nnnn 和xE，定义映射: r TEC如下： 1 ( ):( , ),0, r T xzCf z yyz JzJxyC r =+ ，xE 则下列结论成立： (1) r T是一单值映射； (2) r T是一严格非扩张型的映射，i.e.， , rrrrrr T xT y JT xJT yT xT y JxJy，, x yE； (3)()( ) r F TEP f=； (4)( )EP f是闭、凸的且 r T是拟-非扩张映射 引理引理 2.816 设E是光滑、严格凸、自反的Banach空间，C是其一非空闭凸 子集，:f CCR满足( 1)( 4)AA令0r ，则对xE与q() r F T，有 ()