10-4 含源电路欧姆定律 *基尔霍夫定律 1. 一段含源电路的欧姆定律 如果研究的电路中包含电 源，则在欧姆定律中应包含非 静电场强，即将欧姆定律的微 分形式推广为 即 电源放电 电源充电 积分得 欧 姆 电源放电 电源充电 电源放电时，电流密度与积分方向相反；电源 充电时，电流密度与积分方向相同，且 代入上式，则 一段含源电路的欧姆定律 电源放电电源充电 电流与电动势方向相同时，取负号，反之取正号。 上式称为一段含源电路的欧姆定律。 一段含源电路的欧姆定律 若I=0，则 电源放电，端电压低于电动势。 电源充电，端电压高于电动势。 若R=0，则 电路断开，端电压等于电动势。 若AB接在一起，形成闭合电路，则 总电阻 闭合电路中的电流等于电源 的电动势与总电阻之比。 一段含源电路的欧姆定律 一段含多个电源的电路的欧姆定律 正负号选取规则： 任意选取线积分路径方向，写出初末两端点的 电势差；电流的方向与积分路径方向相同，电流取正 号，反之为负；电动势指向与积分路径同向，电动势 取正号，反之为负。 一段含源电路的欧姆定律 例题10-2 在图所示的电路中，已 知电池A电动势A=24V，内电阻 RiA=2，电池B电动势B=12V ， 内电阻RiB=1 ，外电阻R=3 。试 计算 I R B 34 21 I I A （1）电路中的电流； （2）电池A的端电压U12； （3）电池B的端电压U34 ； （4）电池A消耗的化学能功率及所输出的有效功率； （5）输入电池B的功率及转变为化学能的功率； （6）电阻R所产生的热功率。 一段含源电路的欧姆定律 （2）设所选定的积分路径自1经过电池A 而到2，应 用一段含源电路的欧姆定律得 电流的指向如图中箭头所示的方向。 解： （1）应用闭合电路的欧姆定律得 I R B 34 21 I I A 一段含源电路的欧姆定律 计算结果表示1处的电势V1高 于2处的电势V2 。 现在再从1342这一积分路径来 计算1、2之间的电势差。得 所得结果与前相同。 I R B 34 21 I I A 一段含源电路的欧姆定律 （3）设所选定的积分顺序 方向自3经过电池B 而到4， 仍应用一段含源电路的欧姆 定律得 （4）由电动势的定义可知，当电源中通有电流I时 ，电源作功的功率为 I R B 34 21 I I A 一段含源电路的欧姆定律 电池A所消耗的化学能功率P1=IA=224W=48W， 而其输出功率P2=IU12=220W=40W ，消耗于内阻 的功率P3=I 2RiA=42W=8W。 P3等于P1减去P2。 I R B 34 21 I I A 一段含源电路的欧姆定律 I R B 34 21 I I A （6）电阻R上的热功率 P7=I 2R=43W=12W。 （5）输入电池B的功率P4=IU34=142W=28W ， 其中变化为化学能的功率P5=IB=122W=24W ， 消耗于内阻的功率P5= P4 - P5 =I 2RiB=4W。 最后应当指出：按能量 守恒定律，电池A所消耗的化 学能功率，应等于电池B中转 变为化学能的功率以及消耗 在外电阻和两电池内电阻上 的热功率。 一段含源电路的欧姆定律 2. 基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)定律 复杂电路：不能化解为等效的电 阻串、并联电路的组合，含有较 复杂的分支和节点的电路。 复杂电路的基本方程：基尔霍夫定律。 基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)定律 基尔霍夫 （1）基尔霍夫第一定律 节点：三条或三条以上通电导线的会合点。 基尔霍夫第一定律：在任一节点处，流向节点的电 流和流出节点的电流的代数和等于零。 基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)定律 （2）基尔霍夫第二定律 基尔霍夫第二定律：沿任一闭合回路中电动势的代 数和等于回路中电阻上电势降落的代数和。 基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)定律 应用基尔霍夫定律时的注意事项： （1）如果电路中有n个节点，那么只有(n-1)个相互 独立的节点电流方程。 （2）新选定的回路中，至少应有一段电路是已选 回路中未曾出现过的。 （3）独立方程的个数应等于未知数的个数。 （4）每一电路上电流的方向可以任意假定，解出 的结果若为负，则说明电流的方向与假定的 相反。 基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)定律 3. 基尔霍夫方程组的应用 （1）惠斯通电桥 基尔霍夫方程组的应用 应用第一定律，得节点方程组 节点A 节点B 节点D 基尔霍夫方程组的应用 应用第二定律，得回路方程组 回路ADCKA： 回路ABGDA： 回路BCDGB： 基尔霍夫方程组的应用 解上面六个方程组成的方程组，可以得到各电流。 实验时，调节D的位置，使G中电流为零，电桥平衡， 此时D移动至O的位置。 代入回路方程 得 基尔霍夫方程组的应用 （2）电势差计 电势差计是测量未知电动势的一种装置，通常 也叫电位差计或电位计。 节点A： 回路ABCDA： 则 平衡时，I=0，则 基尔霍夫方程组的应用 比较法测量未知电动势 接入待测电动势时，平衡时电阻为Rx；在完全 不加变动的线路中，用标准电动势代替未知电动势 ，平衡时电阻为RS，则有 则有 基尔霍夫方程组的应用 例题10-3 图表示把两个无内阻的直流电源并联起来 给一个负载供电，设已知电源的电动势以及各个电 阻，试求每一电源所供给的电流I1以I2及通过负载的 电流I。 R1 B A R2 R I1 I2 I 1 2 3 1 2 基尔霍夫方程组的应用 解： 利用基尔霍夫定律 来解这个问题时，可先根 据基尔霍夫第一定律（节 点定律）列出电流方程， 对节点A： R1 B A R2 R I1 I2 I 1 2 3 1 2 由于这电路只有两个节点，所以从节点定律只能得出 一个独立的方程，由此对节点B没有必要再列方程式 了。为了求出各未知电流，还需要两个方程，这两个 方程必须利用基尔霍夫第二定律（回路定律）列出， 基尔霍夫方程组的应用 对这三个联立方程求解 对回路B2A3B： R1 B A R2 R I1 I2 I 1 2 3 1 2 对回路B1A2B： 基尔霍夫方程组的应用 我们可以把式（6）改写为如下形式 其中 表明图中的负载R就象是连接在一个电动势为e 和内阻为Re的电源上一样。换句话说，对于负载R 来说，图中的两个并联电源可以用一个“等效电源” 来代替。如图所示，等效电动势和等效内阻的公式 如上所示。 基尔霍夫方程组的应用 不仅两个并联使用的电源可以用一个等效电 源来代替，在分析多回路电路中某一分支电路的 电流或电压时，也可以将电路的其余部分用一个 等效电动势和一个等效内阻来代替，这就是所谓 的等效电源原理。 R1 R2 R 1 2 Re R e 基尔霍夫方程组的应用 再以具体的数值来讨论： （1）设已知， 1=220V， 2=200V， R1=R2 =10, R=45 ，则算出各电流分别为 基尔霍夫方程组的应用 这三个电流都是正的，表明图中所假定的电 流方向与实际的电流方向一致，这时两电源都向 负载供电。 R1 B A R2 R I1 I2 I 1 2 3 1 2 基尔霍夫方程组的应用 （2）设已知 1=220V， 2=220V ，R1=R2=10, 但 R=145 ，则算出各电流分别为 基尔霍夫方程组的应用 此时I2为负值，表明电流方向与图中所假设的 方向相反，即不是从第二个电源的正极流出，反 而是从它的正极流进去。也就是说，它非但没有 向负值供电，反而要由第一个电源对它充电。 R1 B A R2 R I1 I2 I 1 2 3 1 2 基尔霍夫方程组的应用 此时I2为负值，表明电流方向与图中所假设的 方向相反，即不是从第二个电源的正极流出，反 而是从它的正极流进去。也就是说，它非但没有 向负值供电，反而要由第一个电源对它充电。 R1 B A R2 R I1 I2 I 1 2 3 1 2 基尔霍夫方程组的应用