角平分线角平分线 第第 2 2 课时课时 例 1.在 ABC 中， 90C ，AD 平分 BAC ，ABDE 于 E，F 在 AC 上，DFBD 。 求证： EBCF 。 证明：证明：AD 平分BAC，C 90，DEAB DCDE（角平分线上一点到角的两边的距离相等） 在 RtCDF 和 RtEDB 中， DBDF DEDC RtCDFRtEDB（HL） CFEB（全等三角形的对应边相等） 角平分线的集合解释 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 因此，角的平分线的集合解释是：角平分线是到角两边距离相等的所有点的组成的集合。 符号语言： 的平分线）是的平分线上（或写成：在点 又 AOBOPAOBP OBPEOAPD PEPD , 例 2. 如图，已知在ABC 中，BDDC，12，求证：AD 平分BAC。 证明：证明：过点 D 作 DEAB 于 E，DFAC 于 F. 2 在BED 和CFB 中， CDBD CFDBED 90 21 BEDCFD（AAS） DEDB AD 平分BAC 利用角平分线的性质证明两条线段相等 例 3. 如图已知 ABAC，BDCD，DEAB 交 AB 于 E，DFAC 交 AC 于 F。求证：DEDF。 证明：证明：连结 AD，在ABD 和ACD 中 ADAD CDBD ACAB ABDACD（SSS） BADCAD，即 AD 平分BAC。 又DEAB，DFAC DEDF（角平分线上的点到角两边距离相等） 利用全等三角形的性质证明线段及角的相等关系 例 4. 如图，在AFD 和BEC 中，点 A、E、F、C 在同一直线上，有下面四个论断： （1）ADCB；（2）AECF；（3）BD；（4）AD/BC。 请用其中三个条件作为条件，余下一个作为结论编一道数学题，并写出解答过程。 解答：解答：已知：AECF，BD，AD/BC 求证：ADBC 证明：AECF，AE+EFCF+EF 即 AFCE 又AD/BC AC 在ADF 和CBE 中 CEAF DB CA ADFCBE（AAS） ADBC 例 5. 如图ABC 中，已知 ABAC，要使 ADAE，需添加的一条件是 。 解答：解答：BDCE 添加辅助线构造全等三角形 （1）截长补短法 例 6. 已知如图 AB/CD，E 为 BC 上一点，12，34。 求证：ADDC+AB。 证明：证明：在 AD 上截取 AFAB，连结 EF 在ABE 和AFE 中 AEAE AFAB 21 ABEAFE（SAS） BAFE 又AB/CD， 180CB 又 180EFDAFE CEFD 在DCE 和DFE 中 EDED CEFD 43 DCEDFE（AAS） DFDC，又ADAF+FD， ADDC+AB （2）利用角平分线构造全等三角形 例 7. 已知如图12，P 为 BN 上一点，且 PDBC 于 D，AB+BC2BD，求证： 180BCPBAP 4 证明：证明：过点 P 作 PEBA 于 E PDBC，12 PEPD 在 RtBPE 和 RtBPD 中 PDPE BPBP RtBPERtBPD（HL） BEBD AB+BC2BD，BCCD+BD，ABBEAE AECD PDBC，PEBA PEBPDC 90 在PEA 和PDC 中 CDAE PDCPEB PDPE PEAPDC（SAS） PCBEAP 180EAPBAP 0 180BCPBAP 证明线段的和、差、倍、分的方法及技巧 例 8. 已知：如图ABC 中，ABAC，AD 平分BAC，E 是 AB 上一点，EGAD 于 M，交 AC 于 F，交 BC 的延长线于 G。 求证：（ ）GB 1 2 1 A E M B D C G 3 2 1 F 分析：分析：G、1、B 在图形中处在一条线上，不便于寻找它们的关系，利用图中三角形内、外角 的关系，可将问题转化、解决。 证明：证明：在BEG 中，2BG 又 ADEF（已知） AME90（垂直定义） 2903（直角三角形两锐角互余） 又 AD 平分BAC（已知） （角平分线定义）3 1 2 BAC （等量代换）290390 1 2 oo BAC 18022 o BAC 在 中， （三角形内角和定理）ABCBACB o 1801 （等量代换）221B （ ）2 1 2 1B （ ）（等量代换）BG 1 2 B+1 （ ）（等式性质）GB 1 2 1 例 9：已知 BD 为ABC 的内角ABC 的角平分线，CD 为外角ACE 的平分线，它与 BD 交于 D。 求证：A2D A B C E 2 1 D 例 10. 如图所示，ABAC，BEAC 于 E，CFAB 于 F，BE 与 CF 交于点 O，下列结论正确的是（ ） ABEACF BOFCOE 点在BAC 的平分线上 A. B. C. D. 解答：B 例 11 下列命题中，错误的是（ ） A. 两条直角边对应相等两个直角三角形全等 B. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 C. 斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等 6 D. 斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等 解答：C 例 12. 如图，已知在ABC 中，ACB90,CD、CE 三等分ACB,CDAB。求证： （1）AB2BC （2）CEAEEB 证明：（1）ACB90 CD，CE 三等分ACB 12330 CDAB A30 在 RtACB 中 A30 AB2BC （2）BCE60，B60 BCE 为等边三角形 CEEB 又130，A30 CEAE CEAEEB 例 13. 如图，BD、CD 分别为ABC 的外角平分线，且相交于点 D，求证：D 在A 的平分线上。 证明：过 D 作 DEA B，DFAC ,DGBC BD，CD 平分CBE，BCF DEAB，DFAC，DGBC DEDG，DGDF DEDF D 在A 的平分线上 例 14 如图，BD、CD 分别为ABC 的外角平分线，且相交于点 D，求证：D 在A 的平分线上。 例 15. 如图，在ABC 中，ACBC, C90,AD 是ABC 的角平分线，DEAB，垂足为。 （1）已知 CD1cm，求 AC 的长 （2）求证：ABAC+CD 解：（1）AD 平分CAB，DCAC，DEAB DEDC1cm ACBC，C90 B45 EBED1cm BD 2cm ACBC1+ 2cm （2）证明ABAE+EB AEAC，EBEDCD ABAC+CD 例 16. 如图，要把一块三角形地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植，如果C90，B30， 要使这三家农户所得的土地的大小，形状都相同，请你试着在图上分一分。 解： 作A 的平分线交 BC 于 D，过 D 作 DEAB 于 E 可以很容易证明ADCADEBDE