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电大高等数学基础复习小抄(有试题分析) 作者: 日期:2 一、单项选择题1-1下列各函数对中,( C )中的两个函数相等 C., 1-设函数的定义域为,则函数的图形关于(C )对称C. 轴 设函数的定义域为,则函数的图形关于(D )对称 D. 坐标原点.函数的图形关于( A )对称(A) 坐标原点 1-下列函数中为奇函数是( B )B. 下列函数中为奇函数是(A )A. 下列函数中为偶函数的是( D )D 2-1 下列极限存计算不正确的是( D )D. 2-2 当时,变量( C )是无穷小量 C. 当时,变量( C )是无穷小量 C .当时,变量(D )是无穷小量 D 下列变量中,是无穷小量的为( B ) B 3-1 设在点x=1处可导,则( D ) D. 设在可导,则( D ) D 设在可导,则( D ) D. 设,则( A ) A 3-2. 下列等式不成立的是(D ) D.下列等式中正确的是(B ) B. 4-1 函数的单调增加区间是( D )D. 函数在区间内满足(A ) A. 先单调下降再单调上升 .函数在区间(5,5)内满足( A )A 先单调下降再单调上升 . 函数在区间内满足(D )D. 单调上升5-1 若的一个原函数是,则(D ) D. .若是 的一个原函数,则下列等式成立的是( A )。 A 5-2 若,则( B ) B. 下列等式成立的是(D )D. ( B ) B. ( D ) D -3若,则( B ) B. 补充: , 无穷积分收敛的是 函数的图形关于 y 轴 对称。二、填空题函数的定义域是(3,+) 函数的定义域是 (2,3) (3,4 函数的定义域是(5,2)若函数,则 1 2 若函数,在处连续,则e .函数在处连续,则 2 函数的间断点是x=0 函数的间断点是 x=3 。函数的间断点是 x=0 3-曲线在处的切线斜率是1/2 曲线在处的切线斜率是 1/4 曲线在(0,2)处的切线斜率是 1 .曲线在处的切线斜率是 3 3-2 曲线在处的切线方程是y = 1 切线斜率是 0 曲线y = sinx 在点 (0,0)处的切线方程为 y = x 切线斜率是 1 4 .函数的单调减少区间是(,0 ) 函数的单调增加区间是(0,+) .函数的单调减少区间是 (,1 ) .函数的单调增加区间是 (0,+) 函数的单调减少区间是 (0,+) 5-1 . tan x +C 若,则9 sin 3x 5-2 3 0 0 下列积分计算正确的是( B )A B C D 三、计算题(一)、计算极限(1小题,11分)(1)利用极限的四则运算法则,主要是因式分解,消去零因子。(2)利用连续函数性质:有定义,则极限类型1: 利用重要极限 , , 计算1-1 求 解: 1-2 求 解: 1-3 求 解:=类型2: 因式分解并利用重要极限 , 化简计算。2-1 求 解: =2-2 解: 2-3 解: 类型3:因式分解并消去零因子,再计算极限3-1 解: =3-2 3-3 解 其他: , , (0807考题)计算 解: =(0801考题. )计算 解 (0707考题.)= (二) 求函数的导数和微分(1小题,11分)(1)利用导数的四则运算法则 (2)利用导数基本公式和复合函数求导公式 类型1:加减法与乘法混合运算的求导,先加减求导,后乘法求导;括号求导最后计算。1-1 解:1-2 解:1-3 设,求解: 类型2:加减法与复合函数混合运算的求导,先加减求导,后复合求导2-1 ,求 解:2-2 ,求 解:2-3 ,求, 解:类型3: 乘积与复合函数混合运算的求导,先乘积求导,后复合求导,求 。 解:其他:,求。 解:0807.设,求 解:0801.设,求 解:0707.设,求 解:0701.设,求 解:(三)积分计算:(2小题,共22分)凑微分类型1: 计算 解:0707.计算 解: 0701计算 解: 凑微分类型2:.计算 解: 0807.计算 解:0801.计算 解: 凑微分类型3:, 计算 解:.计算 解: 5 定积分计算题,分部积分法类型1:计算 解: , 计算 解: , 计算 解:,=0807 0707 类型2 (0801考题) 类型3: 四、应用题(1题,16分)类型1: 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l,问当底半径与高分别为多少时,圆柱体的体积最大?l解:如图所示,圆柱体高与底半径满足 圆柱体的体积公式为 求导并令 得,并由此解出即当底半径,高时,圆柱体的体积最大类型2:已知体积或容积,求表面积最小时的尺寸。2-1(0801考题) 某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器,问容器的底半径与高各为多少时用料最省?解:设容器的底半径为,高为,则其容积表面积为, 由得,此时。由实际问题可知,当底半径与高 时可使用料最省。一体积为V的圆柱体,问底半径与高各为多少时表面积最小? 解: 本题的解法和结果与2-1完全相同。生产一种体积为V的无盖圆柱形容器,问容器的底半径与高各为多少时用料最省? 解:设容器的底半径为,高为,则无盖圆柱形容器表面积为 ,令 , 得 ,由实际问题可知,当底半径与高 时可使用料最省。2-2欲做一个底为正方形,容积为32立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?(0707考题)解: 设底边的边长为,高为,用材料为,由已知,表面积 ,令,得, 此时=2由实际问题可知,是函数的极小值点,所以当,时用料最省。欲做一个底为正方形,容积为62.5立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省? 解: 本题的解法与2-2同,只需把V=62.5 代入即可。类型3 求求曲线上的点,使其到点的距离最短曲线上的点到点的距离平方为 , 3-1在抛物线上求一点,使其与轴上的点的距离最短 解:设所求点P(x,y),则满足 ,点P 到点A 的距离之平方为令,解得是唯一驻点,易知是函数的极小值点,当时,或,所以满足条件的有两个点(1,2)和(1,2)3-2求曲线上的点,使其到点的距离最短解:曲线上的点到点A(2,0) 的距离之平方为令,得, 由此, 即曲线上的点(1,)和(1,)到点A(2,0)的距离最短。08074 求曲线上的点,使其到点A(0,2)的距离最短。解: 曲线上的点到点A(0,2)的距离公式为 与在同一点取到最大值,为计算方便求的最大值点, 令 得,并由此解出,即曲线上的点()和点()到点A(0,2)的距离最短10
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