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2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项.已知集合A=xR3x+20B=x R(x+1)(x-3)0则AB=( )A(,1) B.1,- C. ,3 D.(3,) 2. 设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点.则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A. B. C. D. 3.设a,bR.“a=O”是复数a+bi是纯虚数”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )A. 2B .4C.8D. 165.如图. ACB=90。CDAB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )A. CECB=ADDBB. CECB=ADABC. ADAB=CD D.CEEB=CD 6.从0,2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24 B. 18 C. 12 D. 67.某三梭锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是( )A. 28+6B. 30+6 C. 56+ 12D. 60+128.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高。m值为( )A.5B.7C.9D.11第二部分(非选择题共110分)二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.9.直线(t为参数)与曲线 (“为多数)的交点个数为 10.已知等差数列为其前n项和.若=,=,则= 11.在ABC中,若=2,b+c=7,=-,则b= 12.在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60.则OAF的面积为 13.己知正方形ABCD的边长为l,点E是AB边上的动点.则.的值为 14.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=-2,若同时满足条件:xR,f(x) 0或g(x) 0x(, 4),f(x)g(x) 0则m的取值范围是 三、解答题公6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。15(本小题共13分)已知函数。求f(x)的定义域及最小正周期;求f(x)的单调递增区间。16. (本小题共14分) 如图1,在RtABC中,C=90,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DEBC,DE=2,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1CCD,如图2.求证:A1C平面BCDE;若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由17(本小题共13分)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨);试估计厨余垃圾投放正确的概率;试估计生活垃圾投放错误的概率;假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a0,a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值。(求:,其中为数据x1,x2,xn的平均数)18(本小题共13分)已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-,-1)上的最大值,19(本小题共14分)已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mR)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线。20(本小题共13分) 设A是由mn个实数组成的m行n列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零,记s(m,n)为所有这样的数表构成的集合。对于AS(m,n),记ri(A)为A的第行各数之和(1m),Cj(A)为A的第j列各数之和(1jn):记K(A)为r1(A),R2(A),Rm(A),C1(A),C2(A),Cn(A)中的最小值。对如下数表A,求K(A)的值;11-0.80.1-0.3-1(2)设数表AS(2,3)形如11cab-1求K(A)的最大值;(3)给定正整数t,对于所有的AS(2,2t+1),求K(A)的最大值。答案一、选择题题号12345678答案DDBCABBC二、填空题题号91011121314答案21;41;1三、解答题15解:(1)原函数的定义域为,最小正周期为(2)原函数的单调递增区间为,16 解:(1),平面,又平面,又,平面(2)如图建系,则,,设平面法向量为则 又与平面所成角的大小(3)设线段上存在点,设点坐标为,则则,设平面法向量为则 假设平面与平面垂直则,不存在线段上存在点,使平面与平面垂直17(1)由题意可知:(2)由题意可知:(3)由题意可知:,因此有当,时,有18解:(1)由为公共切点可得:,则,则,又,即,代入式可得:(2),设则,令,解得:,;,原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增若,即时,最大值为;若,即时,最大值为若时,即时,最大值为综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为19(1)原曲线方程可化简得:由题意可得:,解得:(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:,解得:由韦达定理得:,设,方程为:,则,欲证三点共线,只需证,共线即成立,化简得:将代入易知等式成立,则三点共线得证。20解:(1)由题意可知,(2)先用反证法证明:若则,同理可知,由题目所有数和为即与题目条件矛盾易知当时,存在的最大值为1(3)的最大值为.首先构造满足的:,.经计算知,中每个元素的绝对值都小于1,所有元素之和为0,且,.下面证明是最大值. 若不然,则存在一个数表,使得.由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于,而两个绝对值不超过1的数的和,其绝对值不超过2,故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于,故的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于.设中有列的列和为正,有列的列和为负,由对称性不妨设,则. 另外,由对称性不妨设的第一行行和为正,第二行行和为负.考虑的第一行,由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数,每个正数的绝对值不超过1(即每个正数均不超过1),每个负数的绝对值不小于(即每个负数均不超过). 因此,故的第一行行和的绝对值小于,与假设矛盾. 因此的第 9 页 共 9 页
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