西北师范大学数学与信息科学学院数学实验报告一、实验目的：1、初步认识迭代，体会迭代思想的重要性。2、通过在mathematica环境下编写程序，利用迭代的方法求解方程的根、线性方程组的解、非线性方程组的解。3、了解分形的的基本特性及利用mathematica编程生成分形图形的基本方法，在欣赏由mathematica生成的美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解。从哲理的高度理解这门学科诞生的必然性，激发读者探寻科学真理的兴趣。4、 从一个简单的二次函数的迭代出发，利用mathematica认识混沌现象及其所蕴涵的规律。5、.进一步熟悉Mathematic软件的使用，复习总结Mathematic在数学作图中的应用，为便于研究数学图像问题提供方便，使我们从一个新的视角去理解数学问题以及问题的实际意义。6、在学习和运用迭代法求解过程中，体会各种迭代方法在解决问题的收敛速度上的异同点。二、实验的环境：学校机房，mathematica4环境三、实验的基本理论和方法：1、迭代（一）方程求解函数的迭代法思想：给定实数域上光滑的实值函数以及初值定义数列， (1)，称为的一个迭代序列。（1）方程求根给定迭代函数以及初值利用（1）迭代得到数列，.如果数列收敛到某个，则有 . (2)即是方程的解。由此启发我们用如下的方法求方程的近似解。将方程改写为等价的方程 ， (3)然后选取一初值利用（1）做迭代。迭代数列收敛的极限就是方程的解。为了使得迭代序列收敛并尽快收敛到方程的某一解的条件是迭代函数在解的附近的导数将的绝对值尽量小，因此迭代方程修订成 (4)选取使得在解的附近尽量小. 为此, 我们可以令得.于是 .特别地,如果取, 则可得到迭代公式 (5)（2）线性方程组的数值解的迭代求解理论与矩阵理论给定一个元线性方程组 (6)或写成矩阵的形式 (7)其中是阶方阵,及均为维列向量.熟知，当矩阵A的行列式非零时，以上的方程组有唯一解.如何有效，快速地寻求大型的线性方程组的数值解释科学工程计算中非常重要的任务.而迭代法常常是求解这些问题的有效方法之一。用迭代法求解线性方程组的思想与上一小节介绍的方程求根的方法是类似的。将方程组(7)改写成 (8)其中是阶矩阵,是维列向量. 任意给定初试向量,由迭代 (9)确定向量序列 如果收敛到向量,则有则为方程组(7)的解.假设矩阵A的对角元素。令，则我们可以将方程（7）改写成 或 （10）由上式即可确定一种迭代格式。如果即将矩阵分解为，其中分别为下三角阵与上三角阵，则（10）可以进一步改成 或 （11）上式又可确定另一种迭代格式。（3）非线性方程组的迭代求解理论类似于单变量的方程组及线性方程组的求解，用迭代方法可以求更加复杂的非线性方程组的解，给定非线性方程组 (12)将它改写为等价的方程组 或 (13)其中，x为n维列向量, 为n维列向量函数，由上式即确定了一种迭代格式 . 由于非线性方程组可能有许多解（甚至有无穷多个解），因此对它的求借比线性方程组的求解要面临更多的挑战。2、迭代（二）分形 分形几何描述自然界的几何形态，把自然形态看作是具有无限嵌套层次的精细结构，并且在不同尺度下保持某种相似的属性，于是在简单的迭代过程中就可以得到描述复杂的自然形态的有效方法。（1） 生成元早在19世纪末及20世纪初，一些数学家就构造出一些边界形状极不光滑的图形。这类图形的构造方式都有一个共同的特点,即最终图形都是按照一定的规则通过对初始图形不断修订得到的. 其中最有代表性的图形是曲线, 它的构造方式是给定一条直线段,将它分为三等分,并将中间的一段用以该线段为边的等边三角形的另外两条边代替,得到图形. 然后, 再对图形中的每一小段都按上述方法修改, 以至无穷. 则最后得到的极限曲线,即所谓的曲线.曲线的修改规则是将每一条直线段用一条折线代替, 我们称为该分形的生成元. 分形的基本特性完全由生成元决定. 因此, 给定一个生成元, 我们就可以生成各种各样的分形图形。（2） 复变函数迭代理论给定初始复数，考虑如下迭代：其中为复数，为（复）常数。对于给定的初始点，迭代序列有可能有界，也可能发散到无穷。令是使得迭代序列有界的所有初值构成的集合，即=|迭代序列有界我们称在复平面上构成的集合为Julia集。对不同的参数, Julia集的形状也会不同。特别的，对应的Julia集为圆盘。如果固定初值，则对不同的参数，迭代序列的有界性也不相同。令是使得迭代序列有界的所有参数构成的集合，即=|迭代序列有界则称在复平面上构成的集合为Mandelbrot集。为了便于在计算机上绘制出Julia集和Mandelbrot集，我们令，则（1）式可改写为 记，则Julia集为使得序列有界的初始点构成的集合，Mandelbrot集为使得序列有界的参数构成的集合。Julia集与Mandelbrot集会是什么样子？如果没有计算机的帮助，你是很难想象的。下面，我们给出这两个集合的计算机作图方法。Julia集绘制方法（1）设定初始值，一个最大的迭代次数，图形的分辨率大小和使用的颜色数（如）（或者给定灰度级）。（2）设定一个上界值。（3）将矩形区域分成的网格，分别以每个网点，作为初始值利用riter做迭代（实际上，只需对满足的初始点迭代）。如果对所有，将图形的像素点用黑色显示。否则，如果从迭代的某一步开始有，则利用第种颜色显示相应像素（或者用相应的灰度级显示）。Mandelbrot集绘制方法（1）设定一个最大的迭代次数，图形的分辨率大小和使用的颜色数（如）（或者给定灰度级）。（2）设定一个上界值。（3）将矩形区域分成的网格，分别以每个网点，作为参数值利用riter做迭代（实际上，只需对满足的初始点迭代）。每次得带的初值均为。如果对所有，将图形的像素点用黑色显示。否则，如果从迭代的某一步开始有，则利用第种颜色显示相应像素（或者用相应的灰度级显示）。四、实验的内容和步骤：练习1给定初值及迭代函数，迭代n次产生相应的数列。mathematica程序如下：运行结果为：练习2设利用（1）做迭代得到序列（1）写出序列的通项公式为：（2）在什么条件下，迭代（1）对任意的初值都收敛？答：据几何级数的收敛性，当 时，迭代（1）对任意的初值都收敛。（3）影响收敛性的主要量是什么？它与的一阶导数有什么关系？常数对迭代的收敛性有没有影响？收敛速度的快慢由什么量决定？答：影响收敛性的主要量是a,它即为的一阶导数，常数b对迭代的收敛性没有影响，收敛速度的快慢由a和b共同决定。（4）对于任意给定的线性方程，你是否可以将它改写成等价的形式使得迭代总是收敛？答：对于任意给定的线性方程，我们总可以将它改写成等价的形式使得迭代总是收敛。练习3考察用迭代函数求解方程的解的情况。（1）在同一直角坐标系中，画出及的图象。从图上观察，方程有几个解？mathematica程序如下：运行结果为：结果分析：通过观察函数图像可得有三个解。（2）取初值做迭代，迭代序列是否收敛？如果收敛，它收敛到哪一个解？取其他初值，观察迭代的结果。是否可以选取到非零的初值，使得迭代序列收敛到的解？初值，迭代20次产生的迭代序列mathematica程序如下：运行结果为：结果分析：通过实验结果我们看到，迭代序列收敛于1.895附近。取初值，迭代20次运行结果为：取初值，迭代20次运行结果为：取初值，迭代20次运行结果为：结果分析：由可得尽管初值已经非常小了，但迭代结果却并不收敛于的解，因此我们得到一个结论，找不到非零的初值使迭代序列收敛到0.再取初值，同样迭代20次，结果为：当初值为0时，迭代序列收敛于0.（3）你能否解释（2）中观察到的现象？对非线性迭代，迭代序列收敛性与什么因素有关？你能否给出迭代收敛的一个充分的条件？初始值的选取对迭代的收敛性及其收敛到哪一个解有什么影响？（提示：在一个光滑函数的局部，它可以近似看成一个线性函数。然后，你可以利用线性迭代的有关结论。）答：通过以上观察到的现象，我们看到，对非线性迭代，迭代序列收敛性与迭代函数和初值都有关，取不同的初值会得到不同的收敛结果。练习4 利用（5）式的迭代方法求解方程的根，将它的收敛速度与你得到的其他的迭代公式相比较，那个更快？mathematica程序如下：当初值时，迭代10次的结果为运行结果为：当初值时，迭代10次的结果为运行结果为：结果分析：由上述试验结果我们发现，使用改进的迭代公式求方程的根，它的收敛速度比其他的迭代公式要快，而且随着迭代次数的增加，迭代值趋于稳定。练习5设 ，任意取定向量f及初始向量利用（9）做迭代。mathematica程序如下：当、时，迭代20次的结果为：运行结果为：练习6给定 ，b任意选取。做如下迭代。（1）用格式（10）做迭代。mathematica程序如下： 取、得迭代10次的结果为：取、得迭代10次的结果为：（2）用格式（11）做迭代 mathematica程序如下：取、得迭代10次的结果为：取、得迭代10次的结果为：练习7分别取 分别用格式（10）和格式（11）做迭代。（1）取，初值向量，用格式（10）对做迭代。mathematica程序如下：运行结果为：（2）取，初值向量，用格式（11）对做迭代。mathematica程序如下：运行结果为：结果分析：上述实验结果表明，格式（10）和（11）都是收敛的