三峡大学 硕士学位论文 切换线性广义系统的容许性分析与控制 姓名：李圣荣 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：蹇继贵 20090301 II 内 容 摘 要 本文应用共同 Lyapunov 函数法，讨论了子系统分别为连续广义系统和离散广义 系统的切换系统的容许性、指数容许性、镇定性和状态观测器设计问题。 研究了切换线性广义系统的指数容许性和镇定性以及状态观测器设计问题。 对子 系统为连续广义系统的切换系统给出了在任意切换信号下是指数容许的充分条件及 相应的共同 Lyapunov 函数；通过设计状态反馈增益矩阵，给出了能够保证闭环系统 在任意切换信号下是指数容许的镇定控制器； 在各个子系统均能检测且脉冲能观的条 件下给出了切换线性广义系统存在广义状态观测器和正常降维状态观测器的充分条 件和设计算法。 研究了切换离散线性广义系统的容许性、指数容许性、镇定性和状态观测器设计 问题。 对子系统为离散线性广义系统的切换系统给出了在任意切换信号下是指数容许 的充分条件及相应的共同 Lyapunov 函数；通过状态反馈增益矩阵的设计，给出了能 够保证闭环系统在任意切换信号下是指数容许的镇定控制器； 给出了切换离散线性广 义系统在任意切换信号下是渐近稳定的一个充分条件和一类共同 Lyapunov 函数，并 在所有子系统均能检测且因果能观的条件下给出了切换离散线性广义系统存在广义 状态观测器和正常降维状态观测器的充分条件和设计算法。 最后，对各种容许性和控制结论给出了数值仿真，验证其正确性和有效性。 关键词关键词：切换系统 广义系统 指数容许性 镇定器 观测器 共同 Lyapunov 函数 III Abstract By using the method of common Lyapunov function, this paper considers the problems of admissibility, exponential admissibility, stabilization and observer design of switched linear systems with continuous-time or discrete-time singular subsystems. The problems of exponential admissibility, stabilization and observer design of switched linear singular systems are investigated. A sufficient condition of exponential admissibility under arbitrary switching and common Lyapunov functions are given for switched systems with continuous-time singular subsystems. By designing state feedback matrices, stabilization controls are given to ensure the exponential admissibility under arbitrary switching of the closed-loop systems. A sufficient condition for the existence of singular observer and reduced-order observer is given and the algorithm is also presented under the conditions that all subsystems are detectable and impulse observable. The problems of admissibility, exponential admissibility, stabilization and observer design of switched discrete-time linear singular systems are investigated. A sufficient condition of exponential admissibility under arbitrary switching and common Lyapunov functions are given for switched systems with discrete-time singular subsystems. By designing state feedback matrices, stabilization controls are given to ensure the exponential admissibility under arbitrary switching of the closed-loop systems. For switched discrete-time linear singular systems, a sufficient condition of asymptotical stability under arbitrary switching signals and a common Lyapunov function are given, and a sufficient condition for the existence of singular observer and reduced-order observer is given and the algorithm is also presented under the conditions that all subsystems are detectable and casual observable. Finally, numerical simulations are provided to verify the correctness and effectiveness of the proposed control schemes. Key words: Switched systems Singular system Exponential admissibility Stabilization Observer Common Lyapunov function I 三峡大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作 所取得的成果，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经 发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明 确方式标明，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 学位论文我签名： 日 期： 1 引 言 切换系统(Switched Systems)是介于离散系统与连续系统之间的一类特殊的混杂 系统也称混合动力系统(Hybrid Dynamic Systems)， 它由多个子系统以及作用在其中的 控制切换规则构成，通过在子系统之间的切换来实现控制目的。近二十多年来，它在 计算机磁盘驱动器、无线电通讯、电力系统、受限机器人系统和智能高速公路等实际 系统中都有广泛应用，并引起了国内外学者的普遍关注，现已成为国际控制界研究最 热门的领域之一。在许多复杂实际控制系统中普遍存在着切换现象，即系统的轨迹由 有限个不同的模态和一些切换规则决定。事实上，单纯的离散或连续模型不足以描述 该类复杂实际系统，这就启发人们采用多个不同模型，来刻画同一个即使其每个子系 统都是线性定常系统复杂的实际控制系统。切换系统属于非线性系统，其整体也不是 线性系统，切换线性定常系统能够产生合盆混沌吸引子，而混沌现象正是非线性系统 的特性之一。切换系统来源于实际控制系统，因此对其探究不仅是现代控制理论发展 的需要，而且是将要解决大量实际问题的迫切需求。 广义系统又称奇异系统(Singular System)、微分代数系统(Differential-Algebraic System)、描述系统(Descriptor System)或隐式系统(Implicit System)，是工程实践中经 常遇到的系统。广义系统是经典正常动力系统的直接拓广，它所反映的对象更广泛更 一般。与正常系统相比广义系统的动态特性有两个层次，一层为动态特性，由微分或 差分方程描述，另一部分为对象的静态特性，由代数方程描述。从物理的观点来看， 在某些情形下，代数方程的存在是很有用的。用广义系统来处理多维，多层次，多目 标的大型复杂系统十分合适，某些物理量之间确实存在着由代数方程刻划的约束。 广义系统的切换问题普遍存在于电网和经济系统中， 而且在结构上变得复杂而富 于新颖性，在研究上变得困难而富于挑战性，故探讨切换广义系统的动态行为和控制 器设计具有非常重要的理论和实际意义。目前，纵览国内外研究现状，不仅已经形成 了较完善的关于切换系统和广义系统的基础理论， 而且关于切换广义系统也涌现出一 定的研究成果。尽管如此，关于切换广义系统仍有大量的问题尚无涉及到或有待于进 一步做深入的研究。本学位论文在前人研究的基础上着重探讨了切换线性广义系统 (Switched Linear Singular Systems)的容许性、指数容许性、镇定性问题以及状态观测 器设计问题。 2 1 绪论 1.1 切换线性广义系统的研究现状 最早研究混杂系统理论的文献出现于 1966 年(Witsenhausen) 1。1986 年由美国国 家基金会和 IEEE 控制协会召集美国控制界知名学者，在美国加州 Santa Clara 大学举 行了一次关于控制学科今后发展的专题讨论会。在会议报告对于控制的挑战集体 的观点2中，混杂系统被第一次提出来成为控制理论的一个新分支，引起了世界控 制领域、计算机领域和应用数学领域学者的浓厚兴趣。从 1998 年起，每年召开有关 Hybrid Systems：Computation and Control 主题的国际讨论会。另外，控制领域的各大 型国际学术会议及重要学术刊物上均开辟了混杂系统的专题或专刊。混杂系统3源于 计算机科学与控制理论的交叉， 是指同时存在相互作用的连续动态特性和离散事件特 性的系统。其中离散部分在控制中常以调度程序或监控管理者的形式出现，例如切换 开关、或者选择器，而连续部分则随着时间的发展不断演化，二者相互作用，使系统 的运动轨迹在整体上呈现离散位置的迁移，局部上呈现连续状态的渐近演化。 切换系统4-10和脉冲系统(Impulsive systems)是混杂系统的两种重要类型。切换系 统在计算机磁盘驱动器、无线电通讯、受限机器人、智能交通及库存管理等许多实际 系统中有着广泛的应用，近二十多年来受到众多科研领域工作者的普遍关注。例如温 度控制系统，其中加热器按照室温的大小变化进行开关切换；火车、汽车等机动车在 其行进过程中的速度调整，即在加速或减速中的换档。它们的数学模型都表现为一个 微分或差分切换系统 ( )xfx =? （1.1） ()( )1x kfk += （1.2） 其中: i fiN是有限个从 n R 到 n R 的函数；是切换信号（也称为切换序列或切换 律） ，为分段常值函数，它可以是时间的函数，可以是状态变量的函数，其值也可以 同时依赖于时间和状态变量。显然，切换系统的性质取决于两方面因素：一是子系统 的具体形式；二是切换信号的具体形式。 美国学者Daniel Liberzonz在文献中4详