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2011年浙江省高中数学竞赛试题一、选择题(本大题共有10小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题5分,共50分)1. 已知,则可化简为( )A B. C. D. 2如果复数的模为4,则实数a的值为( )A. 2 B. C. D. 3. 设A ,B为两个互不相同的集合,命题P:, 命题q:或,则p是q的( )A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件4. 过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB,则为( )A. B. C. D. 5. 函数,则该函数为( )A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A )2231 221 22 正视图 侧视图 俯视图(圆和正方形)A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+7某程序框图如右图所示,现将输出(值依次记为:若程序运行中输出的一个数组是 则数组中的( ) A64 B32 C16 D88. 在平面区域上恒有,则动点所形成平面区域的面积为( )A. 4 B.8 C. 16 D. 329. 已知函数在上有两个零点,则m的取值范围为( )A. B C. D. 10. 已知,则的解为( )A. 或 B. 或 C. 或 D. 二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空7分,共49分)11. 函数的最小正周期为_。12. 已知等差数列前15项的和=30,则=_.13. 向量,则的取值范围为 。14. 直三棱柱,底面是正三角形,P,E分别为,上的动点(含端点),D为BC边上的中点,且。则直线的夹角为_。15设为实数,则_。16. 马路上有编号为1,2,3,2011的2011只路灯,为节约用电要求关闭其中的300只灯,但不能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方法共有_种。(用组合数符号表示)17. 设为整数,且,则_。 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分)18. 设,求在上的最大值和最小值。19. 给定两个数列,满足, 。证明对于任意的自然数n,都存在自然数,使得 。20. 已知椭圆,过其左焦点作一条直线交椭圆于A,B两点,D为右侧一点,连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过 ,求 a的值。 2011年浙江省高中数学竞赛参考解答与评分标准1解答:因为,所以= 。正确答案为D。2解答:由题意得。正确答案为C。3解答:P是q的充分非必要条件。正确答案为B。4. 解答:椭圆的右焦点为(1,0),则弦AB为代入椭圆方程得。正确答案为C。5. 解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。6. 解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分(),所以该几何体的体积为。正确答案为A。7. 答案 经计算。正确答案为 B。8. 解答:平面区域的四个边界点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)满足,即有,由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。9. 解答:问题等价于函数与直线在上有两个交点,所以m的取值范围为。正确答案为C。10. 解答:不等式的左端看成的一次函数,由或。正确答案为C。11. 解答:最小正周期为4。12.解答:由,而。13. 解答:= ,其最大值为3,最小值为1,取值范围为1,3。14. 解答:因为平面ABC平面,ADBC,所以AD平面,所以ADPE,又PEPD,PE平面APD,所以PEPD。即夹角为。15. 解答:16. 解答:问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯,所以共有种关灯方法。17. 解答:将代入得到,因为都是整数,所以前两个方程组无解;后两个方程组解得。所以3或57。18. 解答:当 当 由此可知 。 当;当;当。19. 解答:由已知得到:为等比数列,首项为2,公比为2, 所以。 又由已知,由, 所以取即可。 20. 解答:。设,由 得设。由M、A、D共线。又,得=整理得 。 2010年浙江省高中数学竞赛试卷说明:本试卷分为A卷和B卷:A卷由本试卷的22题组成,即10道选择题,7道填空题、3道解答题和2道附加题;B卷由本试卷的前20题组成,即10道选择题,7道填空题和3道解答题。一、选择题(本大题共有10小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题5分,共50分)1化简三角有理式的值为( )A 1 B CD1+2若,则是的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3集合P=,则集合为()A B C D4设,为两个相互垂直的单位向量。已知=,=,=r+k.若PQR为等边三角形,则k,r的取值为( ) A B C D5在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=BB1,则CA1与C1B所成的角的大小是( )A60 B75 C90 D1056设,分别为等差数列与等比数列,且,则以下结论正确的是( )A B C D 7若的二项式展开式中系数最大的项为( ) A第8项 B第9项 C第8项和第9项D第11项8设,则下述关系式正确的是( )A B C D9下面为某一立体的三视图,则该立体的体积为( )正视图: 半径为1的半圆以及高为1的矩形侧视图: 半径为1的圆以及高为1的矩形俯视图: 半径为1的圆A B C D10设有算法如下:如果输入A=144, B=39,则输出的结果是( )A144 B3 C 0 D12二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空7分,共49分)11满足方程所有实数解为 。12 函数的最小正周期为 13设P是圆上一动点,A点坐标为。当P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹方程为 .14设锐角三角形ABC的边BC上有一点D,使得AD把ABC分成两个等腰三角形,试求ABC的最小内角的取值范围为 .15设z是虚数,且,则z的实部取值范围为 .16设。如果对任何,都有,则k的最小值为 .17设,。当函数的零点多于1个时,在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为 .三、解答题(本大题共有3小题,每题17分,共51分)18设数列,问:(1)这个数列第2010项的值是多少;(2)在这个数列中,第2010个值为1的项的序号是多少.19设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中,要求每个袋子里三种颜色球都有,且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。20已知椭圆,以(0,1)为直角顶点,边AB、BC与椭圆交于两点B、C。若ABC面积的最大值为,求的值。四、附加题:(本大题共有2小题,每题25分,共50分。)21设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB上的点。记。证明:。22(1)设,平面上的点如其坐标都是整数,则称之为格点。今有曲线过格点(n,m),记对应的曲线段上的格点数为N。证明:。 (2)进而设a是一个正整数,证明:。 (注表示不超过x的最大整数)参考答案1解答为 A。也可以用特殊值法2解答为 B。p成立,所以p 成立,推不出q一定成立。3解答:D。 画数轴,由绝对值的几何意义可得,。4解答C ,即。5解答:C。建立空间直角坐标系,以所在的直线为轴,在平面上垂直于 的直线为轴,所在的直线为轴。则,。6解答:A。7解答:D,r=10,第11项最大。8解答: D。函数为偶函数,在(0,)上,为减函数,而,所以。9解答:C根据题意,该立体图为圆柱和一个1/4的球的组合体。10解答 B (1)A=144,B=39,C=27:(2)A=39,B=27,C=12:(3)A=27,B=12,C=3:(4)A=12,B=3,C=0。所以A=3。二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空7分,共49分)11 。解答 变形得,解得。12 解答 。13.解答 设M的坐标为,因为P点在圆上,所以 所以P点轨迹为。1430x45或22.5x30.解答 如图,(1)AD=AC=BD;(2)DC=AC,AD=BD。ACDB(1)ACDB(2)在(1)中,设最小的角为x,则2x90,得x45,又x+180-4x30,所以30x45;在(2)中,设最小的角为x,则3x90,得x30,又180-4x22.5,所以22.5x3015 .解答 设当,无解;当。16.解答 分子,所以k的最小值为。170或q.解答 因为函数为偶函数,由对称性以及图象知道,在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0或q。三、解答题(本大题共有3小题,每题17分,共51分)18解(1)将数列分组:因为1+2+3+62=1953;1+2+3+63=2016,所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数,即为。 - 10分 (2)
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