1,第9 讲 航天器 轨道运行原理,2,天体力学的早期探索,古希腊的亚里士多德首创“地心说” 。 天文学家托勒密集其大成，建立了历史上第一个完整的宇宙体系。,（Aristotle， 约384B.C.322B.C.）,Claudius Ptolemaeus， 约90年168年,3,“地心论”特点： 1 绕着某一中心的匀角速运动，符合当时占主导思想的柏拉图的假设，也适合于亚里士多德的物理学，易于被接受。 2 用几种圆周轨道不同的组合预言了行星的运动位置，与实际相差很小，相比以前的体系有所改进，还能解释行星的亮度变化。 3 地球不动的说法，对当时人们的生活是令人安慰的假设，也符合基督教信仰。,4,托勒密月运动模型,托勒密的宇宙体系示意图,托勒密的行星运动模型,5,16世纪，波兰天文学家哥白尼建立了“日心说”宇宙体系(De Revolutionibus, 1543 ) 。,（Nicolaus Copernicus, 14731543）,正确地论述了地球绕其轴心运转；月亮绕地球运转；地球和其他所有行星都绕太阳运转的事实。但一样严重低估了太阳系的规模, 认为宇宙的中心在太阳附近, 星体运行轨道是一系列同心圆。,6,Giordano Bruno （15481600）,布鲁诺信奉哥白尼学说，被指控为异教徒并被革除了教籍。不得不逃出修道院，并长期漂流在瑞士、法国、英国和德国等国。他到处作报告、写文章，时常出席一些大学的辩论会，颂扬哥白尼学说，抨击官方经院哲学的陈腐教条。,布鲁诺接受并发展了哥白尼的日心说，认为宇宙是无限的，太阳系只是无限宇宙中的一个天体系统。被宗教裁判所判处死刑，烧死在罗马。,7,1632年1月，伽利略在佛罗伦萨出版了关于托勒密和哥白尼的两大世界体系的对话。他在书中用三位学者对话的形式，作了四天的谈话。讨论了三个问题：1、证明地球在运动；2、充实哥白尼学说；3、地球的潮汐。,Galileo Galilei， 1564-1642,伽利略曾非正式地提出过惯性定律和外力作用下物体的运动规律，为牛顿提出运动第一、第二定律奠定了基础。,8,丹麦的第谷(Tycho)是日心说的怀疑者之一。他提出准地心体系(De Mundi，1588年问世)，试图折衷日心说和地心说。尽管伽利略、开普勒等人不赞成，但第谷体系在当时和此后一段时期内还是获得了相当一部分天文学家的支持。,Tycho Brahe （15461601年）,用巨大的象限仪精心测量了777颗恒星的位置，其后又把星数增加到1,000颗。 推荐Kepler当了自己的助手.,9,Johannes Kepler (1571-1630）,开普勒3岁时曾患天花，视力衰弱，一只手活动不便。大学期间成为日心说的拥护者。通过观察和计算，发觉哥白尼把所有行星都以太阳为圆心作均速圆周运动与观察不符。,1600年，到布拉格求教于第谷。第谷逝世后开普勒开始研究其留下的大量行星观察的资料。其中,以火星的数据最多。意识到火星的轨道是椭圆形而不是圆形。,10,9.1 天体力学基本定律,继Kepler提出行星运动三定律后，牛顿(Newton)推导出万有引力定律,认为星体间的运动就是由于星体间存在着引力。 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica（自然哲學的數學原理，1687）,Issac Newton (1642-1727),11,在相互吸引力作用下运动着的无数星体都以不同的速度按一定的轨道运行着。其轨道是一个截圆锥曲线，即圆、椭圆、抛物线和双曲线。星球运转椭圆轨道的原理（16761677）,“开普勒”探测器,“开普勒”超新星,12,第一定律：每个行星的轨道都位于包含太阳在内的固定平面内，轨道的形状是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。,9.1.1 开普勒(Kepler)三大定律,1609年，出版新天文学, 提出第一及第二定律。1619年,出版宇宙谐和论 , 提出第三定律.,13,第二定律：行星与太阳的连线（向径）在相等的时间内扫过的面积相等。,物理意义：行星绕太阳运动的动量矩守恒。,14,第三定律：行星运动周期的平方与行星至太阳的平均距离的三次方成正比。,Answer:1.881年（687.0日）,思考题：计算火星运动周期。 已知地球和火星与太阳的平均距离分别为1.496x108km（1个天文单位）和1.524AU (2.28x108km) 。,15,9.1.2 牛顿万有引力定律,(9-1),保守力：作功与路径无关,16,势能的定义：,定义：,(9-2),17,9. 2 轨道运动方程及其解,9.2.1 二体运动方程,(9-3),二体运动方程,18,如果,定义地球引力参数：,航天器运动微分方程：,(9-4a),或,(9-4b),注意条件：1.质量均匀分布；2.没有其它力作用,19,9.2.2 运动方程的解,1.能量方程,用速度矢量,点乘方程（94），并推导得：,常数,V2/2单位质量的动能，/r单位质量航天器的势能； 结论：能量守恒,(9-5),20,2.角动量常数,用矢径量,叉乘方程（94），并推导得：,(9-6),结论：航天器运动限制在空间一个固定平面内，轨道面由初始位置和速度决定。, 航迹角, 天顶角,21,3.轨道方程,(9-7),方程（94）叉乘 得：,通过变换得：,两边积分得：,(9-8),L积分矢量常数,22,L 积分矢量常数,(9-9),用矢径量,点乘上式得标量方程：,因为,并将,代入得,(9-10),23,记,(9-11),(9-12),由公式(98)得,通过推导得：,(9-13),24,公式(9-12)是圆锥曲线的一般方程，“e”为偏心率，p为半正交弦，是矢径r与引力中心至近地点之间连线的夹角。称真近点角。,0,r 最小：, 近地点,180,r 最大：, 远地点,25,9. 3 轨道特性,9.3.1 圆锥曲线,e=0 圆,0 e 1 椭圆,e1 抛物线,e1 双曲线,26,1.椭圆,圆,9.3.1 圆锥曲线特性,27,2.抛物线,只有近地点参数。,2.双曲线,无意义。,28,9.3.3 轨道运动的一般特性,除抛物线外,通过推导,又,得,速度与位置相关。,29,由,得：, 0椭圆, 0抛物线, 0 双曲线,由,判断进入何种轨道。,当,椭圆,圆,双曲线,抛物线,30,由此可见，不断提高速度，轨道将由闭合的圆锥曲线变为不闭合的圆锥曲线。,两个特征速度： (1)逃逸速度； (2)环绕速度,逃逸,环绕,对地球：,逃逸,环绕,7.9km/s,10.2km/s,31,对椭圆轨道，有以下特性：,在远地点，速度最小；,它小于当地（远地点）的环绕速度。,32,在近地点，速度最大；,它大于当地（近地点）的环绕速度。,33,轨道周期符合开普勒定律；,另由图99得：,改写得：,两式比较得：,h是常数，所以，符合开普勒定律。,34,在一个周期T内，扫过的面积为整个椭圆，,，则,通过一系列的推导得：,由此：周期只与半长轴有关。,对圆轨道：,35,对h高度圆轨道：,h1000km，低轨道；,1000h20000km，中轨道；,h20000km，高轨道；,36,例9-1,设某时刻测得某地球卫星位置和速度矢量分别为:,式中, i, j, k分别为不转动的地心坐标系单位矢量, Re =6 378为地球赤道半径，求该卫星的总的比机械能、比角动量及航迹角。,37,38,总比机械能 比角动量 航迹角,解,先利用机械能公式计算；再角动量守恒关系,39,例9-2,从离地面200km上空的圆形轨道（停泊轨道、驻留轨道）上，将一空间探测器发射到逃逸轨道上。,试求从驻留轨道高度上逃逸所需的最小速度，并画出其逃逸轨道的曲线图。 已知参数：=3.98105 km3/s2 Re=6371 km,40,引入一个参数： 称能量比，是一个无因次量。,解,引入该参数后，圆锥曲线轨道的参数可以方便地表示：,本题 易得，,41,而在200km高度圆形轨道上，环绕速度为,需在沿200km高度圆形轨道切线方向增加速度,该逃逸轨道为抛物线， 近拱点 半通径,42,习题9.1,一地面观测站观测到某卫星高度为637.815km，速度v=7.905km/s,航迹倾角=0，试确定下列参数：,43,9.3.4 航天器动力学方程,（1）质心运动动力学方程 航天器在绕某星体运动过程中，受星体引力作用，为改变轨道还要受发动机推力P和其他外力F作用。因此，由二体系统基本运动微分方程，航天器在与星体固连的不旋转坐标系（惯性系）内运动方程为：,然而，在航天器问题中，通常研究的是相对运动，即相对于与星体相固连的坐标系的运动。该坐标系相对于惯性坐标系不仅原点有位移，还有坐标系的旋转。,（9-A1）,44,其动力学方程应为：,航天器系统的相对运动,由R = R0 + r，故,r为相对于动坐标系矢量，得,45,利用,得,式中，,（9-A2）,46,质心相对运动的动力学方程为：,一般地， 很小，可忽略不计； 若惯性系原点取在日心，地球绕日运动轨迹可视作圆，其 ，而 为地球绕日公转角速度矢量，很小， 为日心到地心的径向矢量。地球自转角速度 。鉴于上述原因，对近地空间飞行器，其惯性离心加速度项比Coriolis加速度项小得多。有,（9-A3）,47,（2）绕质心转动的Euler方程 航天器在运动过程中，需对其姿态进行控制与稳定；为了变轨，需对航天器施加一定冲量，并确定其相对星体的方位。 在研究姿态运动时，航天器可视作则体。在惯性系内，其运动由绕质心的动量矩定理描述：,式中，H航天器的动量矩； M作用在航天器上的力矩矢量和。,（9-B1）,48,在航天器体轴系内计算动量矩则较方便。 设体轴系的转动角速度为，,即,则,由 并令,（9-B2）,49,有,当取航天器体轴为其惯性主轴时，,从上式积分可求出x,y ,z；再次积分可得航天器相对星体的方位角。,（9-B3）,（9-B4）,50,9.4 基本轨道要素,为了确定轨道平面的位置与方位，度量轨道在空间的大小、形状、方位及航天器在空间所处的位置，引入轨道要素概念。,9.4.1 地心赤道坐标系,以地心为原点，赤道平面为基准面，OX指向春分点、OY在赤道平面内东转90、OZ轴垂直赤道指向北极。该坐标系相对恒星不旋转。,51,故在研究航天器相对地球运动时近似认为是惯性坐标系。沿三个坐标轴的单位矢量为I、J、K。,52,二体问题中物体绕中心引力体的运动在固定(轨道)平面内进行。在以中心引力体为原点的惯性系中，确定轨道平面方位需2个角度；确定圆锥曲线形状与大小需2个参数（e,a）;确定圆锥曲线在轨道平面内方位需1个角参数；加上一个时间参数。,确定物体的轨道运动共需6个参数基本轨道要素（经典轨道要素）。,53,9.4.2 基 本 轨 道 要 素,54,六个基本轨道要素,a半长轴。确定轨道大小。 e偏心率。确定轨道形状。 i轨道倾角。地心赤道平面与轨道面夹角，即单位矢量K与h间夹角。 升交点黄经。升交点矢径与单位矢量I间夹角。 近拱点角距。轨道平面内由升交点到近拱点的转角。 航天器在近拱点时刻。,55,升交点Z坐标由负变正,降交点Z坐标由正变负,1.轨道平面与赤道的两个交点,2.轨道倾角角动量h与正Z轴之间的夹角i。,0i90，由西向东运动，称 顺行轨道。,90 i 180 ，由东向西运动，称 逆行轨道。,升交点在XY平面的位置由升交点赤经 决定。, 和i 确定了轨道平面的方位和航天器在该平面内的运动方向。,56,3. 近地点角距 从升交点转到近地点的转角。,上述三个参数和确定轨道大小和形状的参数(半长轴和偏心率)，这5个参数完全确定了轨道的大小、形状和方位。 还需要1个时间的参数确定航