2020届河南省南阳市第一中学高三上学期第二次开学考试数学（文）试题一、单选题1已知集合，则=（ ）ABCD【答案】A【解析】根据一元二次不等式的解法和对数函数的定义域化简集合，再利用交集的定义可得结果.【详解】化简集合，可得，所以.故选A.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2设复数在复平面内对应的点为，若复数的实部与虚部的和为，则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据复数的乘法运算和复数的概念求解.【详解】因为，复数的实部与虚部的和为，所以，故选C.【点睛】本题考查复数的四则运算及实部、虚部的概念，属于基础题.3已知，则a，b，c的大小关系为（）ABCD【答案】B【解析】采用“”分段法，找到小于、在之间和大于的数，由此判断出三者的大小关系.【详解】因为，所以.故选B.【点睛】本题考查指数与对数值的大小比较，考查运算求解能力，属于基础题.4已知，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据同角三角函数的关系和正切函数的和角公式求解.【详解】因为，所以,，所以.故选D.【点睛】本题考查同角三角函数的关系和正切函数的和角公式，属于基础题.5函数的部分图象大致为（）ABCD【答案】A【解析】先求得函数的定义域，然后判断出函数为奇函数，再用特殊值确定正确选项.【详解】首先函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，图象应该关于原点对称，排除C和D，当时，故A正确【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，属于基础题.6如图，四边形为正方形，为等腰直角三角形，设向量，则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据向量的线性运算表示待求的向量，注意运用向量间的长度关系.【详解】作，垂足为，则，又，所以.故选C.【点睛】本题考查平面向量的线性表示，化归与转化的数学思想,属于基础题.7执行如图所示的程序框图，如果输入的，那么输出的（）A167B168C104D105【答案】B【解析】通过分析得出程序框图所计算数值为数列的前6项和，利用分组求和法求得输出的值.【详解】这个程序框图表示计算数列的前6项和，所以.故选B.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查运算求解能力，考查分组求和法，属于中档题.8已知ABC的内角的对边分别为且，则的面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据余弦定理和三角形面积公式求解.【详解】因为，即.所以，所以，又，所以即，故的面积.故选C.【点睛】本题考查运用余弦定理和面积公式解三角形，属于基础题.9在长方体中，点O为长方形对角线的交点，E为棱的中点，则异面直线与所成的角为（）A30B45C60D90【答案】C【解析】通过三角形中位线平移直线，作出线线角，解直角三角形求得线线角的正切值，由此求得线线角的大小.【详解】连接，如下图所示，因为OE为的中位线，所以，所以为异面直线与OE所成的角在中，CD=3，所以，.故选C.【点睛】本题考查几何体中点、线、面的位置关系以及夹角问题，考查空间想象能力和运算求解能力，属于基础题.10若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】设出切点坐标，根据两条直线垂直斜率的关系求得切线的斜率，令的导数等于这个斜率建立方程，分离常数后利用函数的值域求得的取值范围.【详解】设切点为，切线的斜率为，由，得，所以，而，所以.故选B.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查推理论证能力，属于中档题.11从A地到B地有三条路线：1号路线，2号路线，3号路线.小王想自驾从A地到B地，因担心堵车，于是向三位司机咨询，司机甲说:“2号路线不堵车，3号路线不堵车，”司机乙说:“1号路线不堵车，2号路线不堵车，”司机丙说:“1号路线堵车，2号路线不堵车.”如果三位司机只有一位说法是完全正确的，那么小王最应该选择的路线是（）A1号路线B2号路线C3号路线D2号路线或3号路线【答案】B【解析】分别假设甲、乙、丙说得对，分析出有矛盾的说法，由此得出正确结论.【详解】若甲说得对，则2号路线，3号路线都不堵，由于乙是错误的，所以1号路线堵车，这样丙也说得对，这与只有一人说法正确矛盾；若乙说得对，则1号路线，2号路线都不堵，由于甲是错误的，所以3号路线堵车，此时丙也是错误的，符合条件；若丙说得对，则1号路线堵车，2号路线不堵，由于甲是错误的，所以3号路线堵车，此时乙也是错误的，符合条件综上所述，由于中都有2号路线不堵，所以小王最应该选择2号路线.故选B.【点睛】本题考查逻辑与推理，考查推理论证能力和创新意识，属于基础题.12已知抛物线的焦点为F，过点F作直线交抛物线于M，N两点，则的最小值为（ ）AB-C-D【答案】D【解析】根据抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系，将所求的表达式转化成一个量的函数求最值.【详解】由题意知，抛物线的焦点坐标为.设，将：代入抛物线方程，可得，且有，所以，又因为.由抛物线的定义可得，.故，由可得，从而有，当且仅当时取等号.故选D.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，关键在于将问题转化为关于一条线段的长的函数的最值问题，属于中档题.二、填空题13设各项均为正数的等比数列的前n项和为，则=_.【答案】【解析】根据等比数列的性质，求出数列的基本量，再运用求和公式求解.【详解】因为各项均为正数的等比数列的前n项和为，所以，所以，又，所以，.故答案为40.【点睛】本题考查等比数列的性质，基本量的计算和求和问题，属于基础题.14已知甲，乙两组数据如下边的茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数甲，乙也相同，则_.【答案】【解析】根据乙中的中位数可求，再根据平均数相等，可以求得，再得解.【详解】因为乙的中位数为，所以，又，所以，.【点睛】本题考查统计问题中的中位数和平均数，属于基础题.15已知函数，将的图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图象，则函数的最小正周期是_，最大值是_.【答案】 【解析】利用用降次公式化简解析式，左移个单位得到的解析式，化简的表达式为的形式，由此求得其最小正周期和最大值.【详解】因为，左移个单位得到，所以，所以，最大值为.故填：（1）；（2）.【点睛】本题考查三角函数降次公式，三角函数图像变换，辅助角公式，三角函数周期性和最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.16已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线的右支上的一点，(c为半焦距)，且直线与直线平行，则该双曲线的离心率为_.【答案】【解析】根据双曲线的定义可得的长度，再对运用余弦定理可得关于的方程，从而得解.【详解】因为，所以.，因为直线与直线平行。所以，所以，所以，即，解得或（舍去），所以.故答案为2.【点睛】本题考查双曲线的定义和几何性质，属于中档题.三、解答题17年将在日本东京举办第届夏季奥林匹克运动会，简称为“奥运会”，为了解不同年龄的人对“奥运会”的关注程度，某机构随机抽取了年龄在岁之间的 人进行调查，经统计，“年轻人”与“中老年人”的人数之比为.关注不关注合计年轻人中老年人合计 (1)根据已知条件完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为是否关注“奥运会”与年龄段有关；(2)现采用分层抽样的方法从中老年人中选取人进行问卷调查.若再从这人中选取人进行面对面询问，求事件“选取的人中至少有人关注奥运会”的概率.附参考公式:，其中临界值表: 【答案】（1）列联表见解析；有的把握认为是否关注“奥返会”与年龄段有关.（2）【解析】(1)根据“年轻人”与“中老年人”的人数之比可得列联表，再进行独立性检验；(2)列举“从这人中选取人”可能的情况，再得出事件“选取的人中至少有人关注奥运会”的事件数，利用古典概率公式求解.【详解】解:(1)年轻人共有人，中老年人共有人. 关注不关注合计年轻人中老年人合计所以. 故有的把握认为是否关注“奥返会”与年龄段有关. (2)抽取的位中老年人中有人不关注，记为人关注，记为 ，设“选取的人中至少有人关注奥运会”为事件. 从送人中选人的选法有 共种. 其中有种情况满足题意；故.【点睛】本题考查列联表、独立性检验、古典概型的求解,属于基础题.18已知数列的前n项和为.且.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】(1)根据公式求解，注意检验时是否满足；(2)根据错位相减法求和，注意检验时的值.【详解】解:(1)，得. 当时，. 所以 (2)所以当时，；当时，令 则 一得 所以.从而 ,验证当时，满足，所以，.【点睛】本题考查数列中知求的问题和运用错位相减法求数列的和，属于中档题.19如图，已知四棱锥的底面是梯形， 且 (1)若为的中点，证明:平面(2)求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】(1)利用等腰三角形的三线合一性质和勾股定理得线线垂直，从而得线面垂直；(2)利用等体积法求点到面的距离.【详解】(1)证明：因为 , 又为的中点连接，在中，为的中点 ，又PO平面 (2)解：设点到平面的距离为，则，. 在中，,. 由，得，解得.【点睛】本题考查空间里的线面垂直关系的证明和点到面的距离的计算，属于中档题.20已知椭圆的离心率为，一个焦点在直线上，直线与椭圆交于两点，其中直线的斜率为，直线的斜率为。（1）求椭圆方程；（2）若，试问的面积是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由。【答案】（1）；（2）是定值.【解析】(1)根据离心率公式和焦点公式计算得到答案.(2)设点和直线，联立方程，根据韦达定理得到根与系数关系，计算PQ和点到直线距离，表示出面积，根据化简得到答案.【详解】解：（1）由题意可知椭圆的一个焦点为即而所以椭圆方程为 （2）设当直线的斜率存在时，设其方程为，联立椭圆方程得，则， 点到直线的距离 所以由化简得代入上式得 若直线斜率不存在易算得综合得，三角形的面积是定值【点睛】本题考查了椭圆的方程的计算，面积的表示和定值问题，计算量较大，意在考查学生的计算能力.21已知函数为自然对数的底数）（）求函数的单调区间；（）若，证明：关于的不等式在上恒成立【答案】（）的单调递增区间为和，