20152016学年第一学期高等数学（2-1）期末考试A卷( 工 科 类 ）附参考答案及评分标准 一（共3小题，每小题4分，共计12分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“”或“”，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1函数在内的驻点一定是极值点. 2反常积分是发散的. 3设函数、在的某邻域内连续，且当时是的高阶无穷小，则当时，是的高阶无穷小. 即当时，是的高阶无穷小. 二（共3小题，每小题6分，共计18分）1. 求极限.2. 求由参数方程所确定的函数的一阶导数及二阶导数.3设，求（其中为常数，）.三（共3小题，每小题6分，共计18分）1设函数在处可导，试确定常数的值. 2设曲线的方程为，求此曲线在处的法线方程.3试确定曲线中的，使得在处曲线有水平切线，为拐点，且点在曲线上.四（共3小题，每小题6分，共计18分）1设，求不定积分. 2求定积分. 3已知，求的值. 五（本题8分）设为曲线与直线，轴、轴所围成的平面图形，求：(1) 的面积；（4分）(2) 绕轴旋转一周所得的旋转体体积.（4分）六（共2小题，每小题6分，共计12分）1一等腰梯形闸门，它的两条底边各长和，高，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受到的水压力，其中水的密度为，重力加速度为. 2一立体的下部为圆柱体，上部为以圆柱体顶面为底面的半球体，若该物体的体积为常数，问圆柱体的高和底圆半径为多少时，此立体有最小表面积.（常用公式：半径为的球的体积公式为，表面积公式为.）七（共2小题，共计9分）1求微分方程的通解.（5分）2. 求微分方程的通解. （4分） 八（本题5分）设函数在上连续，在内可导且，证明：至少存在一点，使得. 20152016学年第一学期 高等数学（2-1）（工科类）期末试卷(A)参考答案一（共3小题，每小题4分，共计12分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“”或“”，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1函数在内的驻点一定是极值点. （ ） 反例：函数在处满足，即为驻点，但不是在内的极值点 2反常积分是发散的. （ ）证明：由于，又，故反常积分发散. 3设函数、在的某邻域内连续，且当时是的高阶无穷小，则当时，是的高阶无穷小. （ ） 证明：由于当时是的高阶无穷小，即，则，即当时，是的高阶无穷小. 二（共3小题，每小题6分，共计18分）1. 求极限.解：= 2. 求由参数方程所确定的函数的一阶导数及二阶导数.解： 3设，求（其中为常数，）.解：，则 ，故 三（共3小题，每小题6分，共计18分）1设函数在处可导，试确定常数的值. 解：由于在点处可导，故点处连续，又 ，故 由，得. 又， 由，得. 2设曲线的方程为，求此曲线在处的法线方程.解：方程两边对求导，得， 又当时，解得，代入上式得，故 曲线在处的法线方程为，即3试确定曲线中的，使得在处曲线有水平切线，为拐点，且点在曲线上.解：由于曲线在处曲线有水平切线，为拐点，故， 又，可得 ， 又由于为拐点，且点在曲线上，可得，联立解得