第四章弯曲内力 4.1 弯曲的概念和实例 4.2 受弯杆件的简化 4.3 剪力和弯矩 4.4 剪力图和弯矩图 4.5 M、Q、q之间的关系 4.6 平面曲杆的弯曲内力 目 录 1 第四章弯曲内力 一、弯曲的概念 受力特点:作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线 变形特点:使原为直线的轴线变为曲线 F 纵向对称面 轴线 梁 F 4.1 弯曲的概念和实例 2 第四章弯曲内力 以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。 轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为 非对称梁。 对称弯曲：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形 后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。 F q FAFB 纵向对称面 4.1 弯曲的概念和实例 3 第四章弯曲内力 二、工程实例 1.吊车梁 4.1 弯曲的概念和实例 4 第四章弯曲内力 2.摇臂钻的臂 4.1 弯曲的概念和实例 5 第四章弯曲内力 4.1 弯曲的概念和实例 6 第四章弯曲内力 4.跳板 跳台跳板 4.1 弯曲的概念和实例 7 第四章弯曲内力 4.1 弯曲的概念和实例 8 第四章弯曲内力 一、梁支座的简化 a)滑动铰支座b)固定铰支座c)固定端 4.2 受弯杆件的简化 阻止X,Y方向移动 阻止 Y方向移动 阻止X,Y移动和转动 2.固定铰支座：有两个未知反力 1.移(滚)动铰支座：有一个未知反力 3.固定端：有三个未知反力 9 第四章弯曲内力 二、载荷的简化 (a)集中荷载 F1 集中力 M 集中力偶 (b)分布荷载 q(x) 任意分布荷载 q 均布荷载 4.2 受弯杆件的简化 10 第四章弯曲内力 静定梁仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。 (a)悬臂梁(b)简支梁(c)外伸梁 三、静定梁的基本形式 超静定梁仅用静力平衡方程不能求得所有反力的梁。 4.2 受弯杆件的简化 11 第四章弯曲内力 4.2 受弯杆件的简化 12 第四章弯曲内力 4.3剪力和弯矩 一、剪力和弯矩求法 已知简支梁，尺寸如图所示，求 m-m截面的内力(剪力和弯矩) -截面法 剪力(FS ) FS FS m m 1.求反力(省略) 2.求内力 任一横截面上的剪力= 的代数和该横截面任一侧所有外力 13 第四章弯曲内力 弯矩(M ) m m 任一横截面上的弯矩= 对横截面形心力矩的代数和 该横截面任一侧所有外力 4.3剪力和弯矩 FS FS 14 第四章弯曲内力 剪力(FS )任一横截面上的剪力= 的代数和 该横截面任一侧所有外力 任一横截面上的弯矩= 的代数和该横截面任一侧所有外力 弯矩(M ) 对横截面形心力矩 Fs Fs 横截面形心 外力和外力矩的正负号如何确定呢？首先看剪 力弯矩如何确定。 4.3剪力和弯矩 15 第四章弯曲内力 关于弯曲内力的正负号规则是按弯曲变形来规定的 外力矩外力矩 M 外力矩 外力矩 M M M 外力 外力 外力 外力 外力 外力 4.3剪力和弯矩 16 第四章弯曲内力 归纳： FS的符号：对所取梁段上的一点而言，顺时针为 正，逆时针为负。 M的符号：使梁呈“盛水”变形为正，使梁呈“倒水 ”变形为负。 Fs Fs 内力方向要采用“设正法” M M 4.3剪力和弯矩 17 第四章弯曲内力 剪力:所求截面一侧所有 力的代数和 弯矩:所求截面一侧所有力对所求截面形心力矩的代数 和 什么方向的力产生正的剪力? 什么方向的力产生正的弯矩? FS FS 外力 外力 M M 外力矩 外力矩 m m 4.3剪力和弯矩 18 第四章弯曲内力 Fs Fs 取右边呢？ FS FS 外力 外力 M M 外力矩 外力矩 4.3剪力和弯矩 19 第四章弯曲内力 归纳： FS的符号：对所取梁段上的一点而言，顺时针为 正，逆时针为负。 M的符号：使梁呈“盛水”变形为正，使梁呈“倒水” 变形为负。 求FS、M的步骤 求支反力 分段定截面求内力。要采用“设正法”，取受力简 单部分考虑。 M M 4.3剪力和弯矩 20 第四章弯曲内力 例 试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的FS和M。 解：1.求支反力 2.求内力 A左邻截面 ： a q A C MA左 FSA左 a EBA C D qa aaa q 4.3剪力和弯矩 21 第四章弯曲内力 A右邻截面： 2.求内力 A左邻截面 ： a q A C MA左 FSA左 a q A C FAy M A右 FSA右 a EBA C D qa aaa q 4.3剪力和弯矩 22 第四章弯曲内力 D左邻截面： D右邻截面： M D左 FSD左 aa q A C D FAy M D右 FSD右 aa q qa 2 A C D FAy a EBA C D qa aaa q 4.3剪力和弯矩 23 第四章弯曲内力 M M 外力矩 外力矩 4.3剪力和弯矩 FS FS 外力 外力 建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设， 这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为 正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯 矩正负号也作同样判断。 24 第四章弯曲内力 4.3剪力和弯矩 例4-3-2 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。 2 1 1 2m 2 1.5m q=12kN/m 3m1.5m1.5m F=8kN AB FA FB 解： 1、求支反力 25 第四章弯曲内力 4.3剪力和弯矩 2、计算1-1截面的内力 3、计算2-2截面的内力 FB q=12kN/m F=8kN FA 26 第四章弯曲内力 剪力方程、弯矩方程 FS=FS(x) 剪力方程 M=M(x) 弯矩方程 解: AC段：A为原点 CB段：仍以A为原点 4.4 剪力图和弯矩图 剪力随横截面变化的函数表达式 弯矩随横截面变化的函数表达式 B AC l F a b 已知简支梁,受力尺寸如图所示 列出剪力弯矩方程 1.求反力 2.列剪力弯矩方程 注意区间有的是闭区间， 有的是开区间为什么？ 27 第四章弯曲内力 剪力图、弯矩图 注意： 分段求FS(x)、M(x)方程 原点选在梁的最左边。 FS、M图与载荷图上下对齐、一一对应画。 在集中力偶作用下的FS、M图 M x x 4.4 剪力图和弯矩图 28 第四章弯曲内力 例:已知:如图,作FS,M图 解: 支反力 分段列F S 、M方程 AC段： CB段： x2 2 1 x1 1 2 B A C a b l Me FA FB M x x 4.4 剪力图和弯矩图 29 第四章弯曲内力 由图知： 结论： 在集中力偶M作用处：FS图 无改变 M图有突变，突变量大小、 方向同于M （3）求控制点的坐标 AC段 xFSM 0 (4)绘图 B A C a b l Me FA FB x M 0 CB段 FS M x x 4.4 剪力图和弯矩图 标上绝对值 30 第四章弯曲内力 在集中力作用下的FS、M图 例:已知：如图，作FS 、M图 解: 支反力 分段列FS、M方程 AC段： CB段： 4.4 剪力图和弯矩图 x2 21 x11 2 B A C a b l FA FB F M x x 31 第四章弯曲内力 由图知： 结论： 在集中力F作用处：FS图有突 变，突变量大小、方向同于FS 、M图有尖点. （3）求控制点的坐标 (4)绘图 AC段CB段 4.4 剪力图和弯矩图 M x2 21 x11 2 B A C a b l FA FB F 标上绝对值 32 第四章弯曲内力 在均布载荷作用下的FS,M图 例:已知：如图，作FS、M图 解: 支反力 列FS、M方程 4.4 剪力图和弯矩图 x1 B A q l FAFB M 33 第四章弯曲内力 由图知 ： 结论： 在均布载荷作用处：Q图为倾斜直线，M图为抛物线。 抛物线凸凹方向：当M为二次函数时，用“下雨打伞 ”规则。当M为二次以上函数时， （3）求控制点的坐标 AC段 4.4 剪力图和弯矩图 M x1 B A q l FAFB 34 第四章弯曲内力 例：已知如图，作FS 、M图 解： 支反力 分段列FS、M方程 CA段： AD段： DB段： 4.4 剪力图和弯矩图 B A q=3kN/m FA FB C M=3kNm D 2m2m4m 35 第四章弯曲内力 6kNm 6.04kNm 4kNm 7kNm 6kN 8.5kN 3.5kN （3）求控制点的坐标 (4)绘图 CA段AD段 DB段 (5)特殊点的处理 在AD段内 4.4 剪力图和弯矩图 B A q=3kN/m FA FB C M=3kNm D 2m2m4m 4.83m 36 第四章弯曲内力 刚架的内力图 刚节点：不能有相对移动和转动的节点 刚架：各部分由刚节点联接而成的结构 平面刚架,空间刚架 内力:一般有：轴力N、剪力FS、弯矩M 约定 符号：轴力N：拉为正、压为负 剪力FS：对所研究段，顺时针为正，反之为负 弯矩M：把竖直杆看作水平杆的延长来判断 内力图 轴力图、剪力图画在刚架任一侧，标明正负号 弯矩图画在刚架受压一侧，不要标正负号。 例题例题 4.4 剪力图和弯矩图 M正负与x轴关系 M M M M 37 第四章弯曲内力 例：已知：如图，画刚架的弯矩图 解 AC段： CB段： 如何设定弯矩的正负号？ (1)求反力(略) (2)列FS、M方程 (3)控制点坐标 CB段 AC段 (4)绘FS、M图 4.4 剪力图和弯矩图 C B A 1.5a a 1 1 2 2 F F Fa Fa 0.5Fa M正负与x轴关系 M M M M 38 第四章弯曲内力 微分关系 约定：对右手系，q向上为正，向下为负。 4.5载荷集度剪力和弯矩间的关系 q=q(x) xdx q(x) dx FS(x)FS(x)+dFS(x) M(x)+dM(x)M(x) C 39 第四章弯曲内力 规律 当q=0时， FS(x)=常数,FS图为一条水平直线 M图为一条斜直线 FS(x)0,M图向上倾斜 FS(x)0, FS图向上倾斜 M为抛物线, q0, M图下凸 q0 M图上凸 q0, FS图向下倾斜 当q=常数时 4.5载荷集度剪力和弯矩间的关系 41 第四章弯曲内力 3.当有集中力时， 4.当有集中力偶时， 4.5载荷集度剪力和弯矩间的关系 42 第四章弯曲内力 小结: q=0, FS=常数, M一次函数 q=常数, FS一次函数, M二次函数 q一次函数, FS二次函数, M三次函数 在FS(x)=0的截面上, M图有极值 Mmax发生截面 FS(x)=0处 集中力作用处 集中力偶作用处 以上关系可用于绘制剪力、弯矩图和验证所画 剪力、弯矩图的正确性 4.5载荷集度剪力和弯矩间的关系 43 第四章弯曲内力 积分 例题例题 在区间x1,x2积分 即:在x1,x2截面上剪力之差,等于两截面间载荷图面积 即:在x1,x2截面上弯矩之差,等于两截面间剪力图面积 注意：此处面积可以为负 4.5载荷集度剪力和弯矩间的关系 44 第四章弯曲内力 解： 4.5载荷集度剪力和弯矩间的关系 例：已知：如图，作内力图 (1)求反力 BA q=1kN/m C Me=10kNm D 4m3m4m4m F1=2kNF2=2kN E 5m 20kNm 16kNm 6kNm 6kNm 7kN 2kN 3kN 3kN 1kN (2)控制点坐标 AC段 DB段BE段 CD段 20.5kNm (3)绘图 (4)特殊点的处理 CD段 FAFB 45 第四章弯曲内力 4.6 平面曲杆的弯曲内力 平面曲杆：轴线为平面内曲线的杆件结构。 内力符号和内力图画法约定： （1）轴力：拉伸为正，可画在曲杆轴线的任一 侧（通常正值画在曲杆外侧），但须注明正负号； （