平 面 任 意 力 系 第 四 章 。求力系的合力。 例4-1重力坝受力如图所示。设 解：（1）先将力系向O点简化，主矢在x、y轴上的投影。 主矢的大小 kN kN 式中 kN 而 因为 FRy 为负，故主矢在第四象限内， 与 x 轴的夹角为70.84。 （2）合力FR的大小和方向与 主矢相同。 其作用线位置根据合力矩定理 求得(图c)， 解得 即 力系的主矩 （顺时针 图b ） X X = 0= 0， X XA A + 3 + 3lq/2 lq/2 F F sin 60 sin 60= =0 0 X XA A = = 316.4316.4 kNkN Y Y = 0= 0，F Fcoscos 60 60 P P + + Y Y A A = 0= 0 Y YA A = -100 = -100 kNkN MM A A ( ( F F ) = 0 ) = 0， MM A A 3 3 l l 2 2 q q / 2 / 2 MM + + 3 3 l Fl Fsin60sin60 F l F l sin 30= 0sin 30= 0 MM A A = -789.2 = -789.2 kNmkNm 例4-2自重为P=100kN的T字形刚架，l=1m ， M=20kNm，F=400kN，q=20 kN/m ，试求固定端A 的约束反力。 解：解： q M A A B D l l l l 3l3l F F 6060 P X XA A Y YA A M MA A （1 1） 保证起重机在满载和空保证起重机在满载和空 载时都不至翻倒，求平载时都不至翻倒，求平 衡载荷衡载荷 P P3 3 应为多少？ 应为多少？ 塔式起重机 如图，P1=700kN， P2=200kN，试问： 例4-3 6m12m 2m 2m AB P2 P1 P3 N NB B N NA A （2 2） 当当 P P 3 3 =180kN =180kN 时，求满载时，求满载 时轨道时轨道 A A、B B 轮的约束反力轮的约束反力 。 保证起重机在满载和 空载时都不至翻倒，求平衡载荷 P3 应为多少？ （P1 = 700kN，P2 = 200kN） 6m12m 2m2m AB P2 P1 P3 N NB B N NA A 解解：满载而不翻倒时，临界情况下满载而不翻倒时，临界情况下 ，N N A A = 0= 0 M M B B = 0, = 0, P P 3min3min(6+2) +2 (6+2) +2P P 1 1 P P 2 2 (12 (12 2) = 02) = 0 P P3min 3min =(10 =(10 P P 2 2 2 2P P 1 1 ) /8= 75kN) /8= 75kN 当空载（当空载（ P P 2 2 = 0= 0）而不翻到，临界而不翻到，临界 情况下，情况下，N N B B = = 0 0 MM A A = 0, = 0, P P3max 3max(6 (6 2) 2) 2 2P P 1 1 = 0 = 0 P P3max 3max = 2 = 2P P 1 1 / 4 = 350kN/ 4 = 350kN 得得： 75kN 75kN P P 3 3 350kN 350kN 当 P3 =180kN 时，求满 载时轨道 A、B 给轮的反力。 6m12m 2m2m AB P2 P1 P3 N NB B N NA A P P1 1 = 700kN= 700kN，P P 2 2 = 200kN= 200kN 解解： MMA A = 0 , = 0 , P P 3 3 (6 (6 2) 2) 2 2P P 1 1 P P 2 2 (12 + 2 ) + (12 + 2 ) + 4 4 N NB B = 0 = 0 N NB B = 870kN = 870kN Y Y = 0, = 0, N N A A + +N N B B P P 3 3 P P 1 1 P P 2 2 = 0= 0 N NA A = 210kN= 210kN 用用 MMB B =0 =0 可以进行校验。可以进行校验。 无底圆柱形空桶放在光滑水平 面上，内放两个重球，每个球重 P、半径 r ，圆桶半径 R 。不计摩擦和桶壁厚，求圆 桶不至翻倒的最小重量 G min 。 例4-4 P P A B G G C D 取整体为研究对取整体为研究对 象，受力情况如图。象，受力情况如图。 翻倒的临界情况时，翻倒的临界情况时， minmin 桌面对圆筒的约束反力桌面对圆筒的约束反力 集中在最右边的一点上集中在最右边的一点上 。 且：且：G G = = G Gmin min P P A B C D C D a R b 解解 1 1：分别以两个球和圆桶为研究对象：分别以两个球和圆桶为研究对象, ,画受力图。画受力图。 设设 BEBE = = a a ，AE AE = = b b 。 显然，显然， DODO = = BEBE = = a a ， b b =2(=2(R - rR - r) ) O 以两球为对象以两球为对象 EO O G G minmin MMO O ( ( F F ) = 0 ) = 0， G Gmin min R R F F D D a a = 0 = 0 G G minmin = = F F D D a a R R = = P bP b R R G G min min = 2 = 2P P ( 1 ( 1 r rR R ) ) F F D D = = P bP ba a M M A A ( ( F F ) = 0 ) = 0， F F D D a a P bP b = 0 = 0 FC FC FB FA 以桶为对象，选择以桶为对象，选择 O O 点，点， 解 2：以两个球为研究对象 A B C D P P N N C D P P A B O G G minmin N N N N = 2 = 2P P 以整体为研究对象 Y = 0， N P P = 0 MO ( F ) = 0， Pr + Gmin R (N P)(2R r) = 0 静定组合梁如图，已知 Q = 10kN，P = 20kN，p = 5kN/m，q = 6kN/m和 2a = 1m。梁自重 不计，求A，B的支座反力。 2a2a2a2a aa 例4-5 A BC D X XA A Y YA A M MA A p q Q P N NB B 解：1、以CD为对象 B D C q Q N NB B 2a2a a X XC C Y YC C X X = 0 = 0 ， X C = 0 M M C C ( ( F F ) = 0 ) = 0 ， Qa + NB2a = 0 NB = Q 2 + 4qa 3 = 9 (kN) MM B B ( ( F F ) = 0 , ) = 0 , = 0 Q a YC 2a YC = Q 2 - qa 3 = 4 (kN) Q = 10kN， q = 6kN/m 2a = 1m N NB B Y YC C X XC C N NB B X XC C Y YC C 2、再以AC为对象 A C 2a2a a P X XA A Y YA A M MA A p Y YC C X XC C 由（由（1 1）知）知, X, X C C = 0 , = 0 , Y Y C C = 4 = 4 kNkN X = 0 X = 0 ， X X A A = 0 = 0 Y Y = 0 = 0 ， Y Y A A P P p p 22a a Y Y C C = 0= 0 Y Y A A = = P P + + p p 22a a + + Y Y C C = 29 (= 29 (kNkN) ) MM A A ( ( F F )= 0 )= 0 ， MMA A P P a a p p22a a 33a a Y Y C C 4 4a = 0a = 0 MM A A = 10 + 7.5 + 8 = 25.5 (= 10 + 7.5 + 8 = 25.5 (kNkN m) m) P P = 20kN = 20kN， p p=5kN/m=5kN/m， 2 2a a = 1m = 1m X XA A Y YA A M MA A X XA A Y YA A M MA A 校验：以整体为研究对象 2a2a2a2a aa A BC D X XA A Y YA A M MA A p q Q P N NB B Y Y A A P P p p 2 2a a Q Q + + N N B B q qa a = 29 = 29 20 20 5 5 10 +9 10 +9 3 = 03 = 0 MMA A P P a a p p 2 2a a 33a a Q Q 5 5a a + N+ N B B 6 6a a 2020 q a q a 2 2 / / 3 3 = = 25.5 25.5 10 10 7.5 7.5 25 + 2725 + 271010 = 0 = 0 Y Y = 0 = 0 ， ? M M A A ( ( F F ) = 0 ) = 0 ， ? ? ? ? ? 满满 足足 图示结构，已知载荷F1 、F2 、M及 尺寸a，且 M = F1 a ，F2 作用于销钉上，求: （1）固定端 A 的约束反力； （2）销钉 B 对 AB 杆及 T 形杆的作用力。 例4-6 aaa a/2 a/2 B D E A C F1 F2 M 1、以CD为研究对象 aa D C M X XC C Y YC C X XD D Y YD D MM D D ( (F F ) = 0) = 0， Y Y C C 2 2a a - M- M = 0, = 0, Y Y C C = = F F 1 1 / 2/ 2 X XC C Y YC C X XD D Y YD D X XC C Y YC C X XD D Y YD D aaa a/2 a/2 B E A C F1 F2 M D M = F1 a Y Y BTBT 2 2、以、以T T 形杆为研究对象形杆为研究对象 B E C aa a/2 a/2 F1 X XC C Y YC C X X BTBT Y Y = 0 , = 0 , Y Y B T B T + + Y Y C C F F 1 1 = 0= 0 Y YBT BT = = F F 1 1 2 2 MMC C ( (F F ) = 0 ,) = 0 , X X BTBT a a Y YBT BT a a F F1 1 a a = 0 = 0 X XBT BT = 3 = 3F F 1 1 2 2 Y Y BTBT X XC C Y YC C X X BTBT Y Y BTBT X XC C Y YC C X X BTBT aaa a/2 a/2 B E A C F1 F2 M D Y Y C C = = Y