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蕉岭中学2018-2019学年第二学期高二级第一次质检理科数学试题2019.3命题人:古建宏 审题人:刘广泉 (总分150分,完成时间120分钟)第一部分 选择题(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1已知集合,则( )A B C D2下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是( )A.B.C. D. 3函数,其值域为,在区间上随机取一个数,则的概率是( )A B C D 4等差数列an的前n项和为Sn,且a1a510,S416,则数列an的公差d为( )A1 B2 C3 D45,满足约束条件:,则的最大值为( )A-3 B C3 D46函数f(x)x2ln(ex)ln(ex)的图象大致为( )7已知函数f (x),则f (x)在上的零点个数为( ) A1 B2 C3 D48点是以线段为直径的圆上的一点,其中,则( )A1 B2 C3 D49 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为A B C D10设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )A.y=-2xB.y=-x C.y=2xD.y=x 11已知函数f(x)=x3-ax+2的极大值为4,若函数g(x)=f(x)+mx在(-3,a-1)上的极小值不大于m-1,则实数m的取值范围是( )A. B. C.(,+), D.(-,-9)12过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,点在直线上,若为正三角形,则其边长为( )A15 B12 C13 D14第二部分 非选择题(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分. 13命题:,的否定为 14若sin ,tan 0,则cos _.15已知曲线y=x3与直线y=kx(k0)在第一象限内围成的封闭图形的面积为4,则k= 16一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上,则该直角三角形斜边的最小值为 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(本小题满分10分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)= (1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.18(本小题满分12分)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明是等比数列,并求an的通项公式;(2)证明19(本小题满分12分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.20(本小题满分12分)四棱锥的底面为直角梯形,为正三角形.(1)点为棱上一点,若平面,求实数的值;(2)若,求二面角的余弦值.21(本小题满分12分)来源:学&科&网已知椭圆:的左、右焦点分别为,且离心率为,为椭圆上任意一点,当时,的面积为1. (1)求椭圆的方程;(2)已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点,延长直线,分别与椭圆交于点,设直线的斜率为,直线的斜率为,求证:为定值.22(本小题满分12分)、已知函数(1)求函数的极值。(2)若曲线上总存在不同两点,使得曲线在两点处的切线互相平行,证明:。高二级第一次质检理科数学参考答案一、选择题1-5: ABBBC 6-10: ABDDD 11、12:BB二、填空题13. 14. 15. 4 16. 三、解答题17解(1)由.题设及A+B+C=,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.5分(2)由cos B=得sin B=,故SABC=acsin B=ac.又SABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2. .10分18解(1)由an+1=3an+1得an+1+=3.又a1+,所以是首项为,公比为3的等比数列.an+,因此an的通项公式为an=.6分(2)由(1)知.因为当n1时,3n-123n-1,所以.于是+1+=.所以+.12分.19. 解(1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f(x)=(1-x)ea-x+b. 2分依题设,解得a=2,b=e. 5分(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+). 12分20(1)因为平面SDM,平面ABCD,平面SDM 平面ABCD=DM,所以,因为,所以四边形BCDM为平行四边形,又,所以M为AB的中点.因为,.5分(2)因为, ,所以平面,来源:Zxxk.Com又因为平面,来源:学#科#网所以平面平面,平面平面,在平面内过点作直线于点,则平面, 在和中,因为,所以,又由题知,所以所以,以下建系求解.以点E为坐标原点,EA方向为X轴,EC方向为Y轴,ES方向为Z轴建立如图所示空间坐标系,则, ,设平面的法向量,则,所以,令得为平面的一个法向量, 同理得为平面的一个法向量, , 因为二面角为钝角,所以二面角余弦值为.12分21解:(1)设由题, 解得,则,椭圆的方程为. 4分(2)设,当直线的斜率不存在时,设,则,直线的方程为代入,可得,则直线的斜率为,直线的斜率为,当直线的斜率不存在时,同理可得. 当直线、的斜率存在时,设直线的方程为,则由消去y可得:来源:学科网ZXXK,又,则,代入上述方程可得,则,设直线的方程为,同理可得,直线的斜率为,来源:学科网直线的斜率为,.所以,直线与的斜率之积为定值,即. 12分22解:、函数的定义域为,当时,函数的单调递减区间为和,单调递增区间为; ,;当时,函数无极值;当时,函数的单调递减区间为和,单调递增区间为; ,;综上可得:略、, ,存在,使得,当时,当且仅当时取等号, 故存在,使得。12分
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