第二节 函数的定义域和值域 备考方向要明了 考 什 么 会求一些简单简单 函数的定义义域和值值域. 怎 么 考 1.本节节是函数部分的基础础，以考查查函数的定义义域 、值值域为为主，求函数定义义域是高考的热热点，而求函 数值值域是高考的难难点 2.本部分在高考试题试题 中的题题型以选择选择 、填空题题 为为主，属于中、低档题题目. 一、常见基本初等函数的定义域 1分式函数中分母 2偶次根式函数被开方式 . 3一次函数、二次函数的定义域均为 . 4yax(a0且a1)，ysin x，ycos x，定义域均为 . 不等于零 大于或等于0 R R 5ylogax(a0且a1)的定义域为 6ytan x的定义域为 (0，) 7实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有 意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约 答案：C 归纳领悟 1函数有解析式时，其定义域是使解析式有 意义的自变量的取值构成的集合 2实际问题的函数定义域不仅要考虑解析式 的意义，还要看其实际意义 3抽象函数的定义域要弄清所给函数间有何 关系，进而求解 答案：C 答案：x|x4且x5 C 练习巩固练习巩固 答案：B 冲关锦囊 求具体函数yf(x)的定义域 函数给给出的方 式 确定定义义域的方法 列表法表中实实数x的集合 图图象法图图象在x轴轴上的投影所覆盖实实数x的集合 解析法使解析式有意义义的实实数x的集合 实际问题实际问题由实际实际 意义义及使相应应解析式有意义义的x 的集合 二、函数的值域 1函数f(x)的值域是函数值值y 的集合，记为 y|yf(x)，xA，其中A为f(x)的定义域在 函数概念的三要素中，值域是由定义域和对应 关系所确定的，因此，在研究函数值域时，既 要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域 对值域的制约作用 2基本初等函数的值域 (1)ykxb(k0)的值域是 . (2)yax2bxc(a0)的值域是：当a0时，值域为 ；当a0时，值域为 y|y0 y|y0 R 1,1 R R 函数值域或最值的常用求解方法 直接法（直接法（观观观观察法）察法） 答案：D 答案： A 2函数yx22x的定义域为0,1,2,3， 那么其值域为 ( ) A1,0,3 B0,1,2,3 Cy|1y3 Dy|0y3 B 主要适用于可化为为二次函数的函数，形如 F(x)af 2(x)bf(x)c的函数的值值域问题问题 ，此时时 要 特别别注意自变变量的范围围； 函数值域或最值的常用求解方法 配方法配方法 答案： 5，) 基本不等式法基本不等式法 函数值域或最值的常用求解方法 主要有三角代换、二元代换、整体代换等用 换元法时一定要注意新变元的范围； 函数值域或最值的常用求解方法 换元法换元法 B 函数值域或最值的常用求解方法 单调性法单调性法 利用函数和它的反函数的定义义域与值值域的关 系，通过过求反函数的定义义域，得到原函数的值值域 形如y (a0)的函数的值值域，均可使 用反函数法此外，这这种类类型的函数值值域也可使 用 “分离常数法”求解 函数值域或最值的常用求解方法 反函数法反函数法 导数法导数法 函数值域或最值的常用求解方法 当一个函数在定义义域上可导时导时 ，可根据其导导 数求最值值确定值值域； 主要适用于可化为关于x的二次方程a(y)x2 b(y)xc(y)0的函数yf(x)在由0且a(y)0, 求出y的最值后，要检验这个最值在定义域内是 否有相应的x的值 函数值域或最值的常用求解方法 判判别别别别式法式法 当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域 和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几 何方法求出函数的值域 常用于解答选择题选择题 、填空题题或探究解题题思路 函数值域或最值的常用求解方法 数形结合法数形结合法 归纳领悟 函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定 的求函数值域或最值的常用方法：观察法；换 元法；配方法；根据单调性，求出函数的值域； 不等式法；导数法(导数部分深叙)；判别式法 ；数形结合法 注意： (1)“求值有法，法无定法”即求最值的方法多种多样 ，要根据实际情况选择恰当的方法来解决，不可生搬 硬套 (2)求函数值域或最值，一定要注意到定义域的范围 (3)利用换元法时，要及时确定新变量的取值范围 函数的最值与值域的关系 函数的最值与函数的值域是关联的，求出 了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但 只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数 的值域 设函数f (x)的定义域为R，有下列三个命题： 若存在常数M，使得对任意xR，有f(x)M，则 M是函数f (x)的最大值；若存在x0R，使得对任 意xR，且xx0，有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x) 的最大值；若存在x0R，使得对任意xR，有 f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值这些命题中 ，正确命题的个数是 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 C 【解析】根据最大值的定义，对于M可能是最 大值，也可能是比最大值还大的数；则显然 与最大值的定义是一致的，因此是正确的 答案 B 归纳小结 求解定义域为R或值域为R的函数问 题时，都是依据题意，对问题进行转化， 转化为不等式恒成立问题进行解决，而解 决不等式恒成立问题，一是利用判别式法 ，二是利用分离参数法，有时还可利用数 形结合法 （2012温州）函数f(x)(a2)x22(a2)x4的定义 域为R，值域为(，0，则实数a的取值范围是 ( ) A(，2) B(，2) C2 D2,2 易错矫正 乱用等价性致误 正确解答 由函数f(x)的值域为(，0可知，函数 f(x)的最大值为0，可求得a2. 答案: C （2012温州）函数f(x)(a2)x22(a2)x4的定义 域为R，值域为(，0，则实数a的取值范围是 ( ) A(，2) B(，2) C2 D2,2 答案：A 答案：C