知识点一几何概型 1定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型2几何概型的特点(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等1判断正误(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限()解析：(1)正确根据几何概型的概念可知正确(2)正确几何概型中的测度可为长度、面积、体积、角度等(3)错误与面积有关的几何概型的概率只与几何图形的面积有关，而与几何图形的形状无关(4)错误几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几何概型的基本事件有无限个知识点二几何概型的概率公式 P(A).2(2019安徽质量检测)某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：158：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是(D)A. B.C. D.解析：该职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段AB，且AB40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB，且CB15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率P，故选D.3(2019重庆六校联考)九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是(D)A. B.C1 D1解析：如图，直角三角形的斜边长为17，设其内切圆的半径为r，则8r15r17，解得r3，内切圆的面积为r29，豆子落在内切圆外的概率P11.选D.4在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P与点O的距离大于1的概率为1.解析：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与点O的距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积V113.事件“点P与点O的距离大于1的概率”对应的区域体积为23.根据几何概型概率公式，得点P与点O的距离大于1的概率P1.1几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的，前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)的大小有关，而与形状和位置无关2几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果 考向一与长度、角度有关的几何概型 【例1】(1)(2018贵阳市监测考试)某公交车站每隔10分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间大于等于7分钟的概率为()A. B.C. D.(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC1，以点A为圆心，1为半径作弧，交线段AB于点E，在上任取一点P，则射线AP与线段BC有公共点的概率为_【解析】(1)由几何概型的概率计算公式可知所求概率P，故选D.(2)如图，连接AC，交圆弧DE于点P，则tanCAB，CAB30，射线AP与线段BC有公共点的条件是射线AP在CAB内，所求概率为.【答案】(1)D(2)(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则把题中所表示的几何模型转化为长度，然后求解.解题的关键是构建事件的区域(长度).(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角度的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.(1)记函数f(x)的定义域为D.在区间4，5上随机取一个数x，则xD的概率是.(2)如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A，连接AA，得到一条弦，它的长度小于或等于半径长的概率为.解析：(1)由6xx20解得2x3，则D2,3，故所求概率为.(2)当AA的长度等于半径的长度时，AOA，由圆的对称性及几何概型得所求概率P.考向二与面积有关的几何概型 方向1与平面几何有关的几何概型【例2】(2018全国卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则()Ap1p2 Bp1p3Cp2p3 Dp1p2p3【解析】解法1：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域的面积即ABC的面积，为S1bc，区域的面积S2()2()2bc(c2b2a2)bcbc，所以S1S2，由几何概型的知识知p1p2，故选A.解法2：不妨设ABC为等腰直角三角形，ABAC2，则BC2，所以区域的面积即ABC的面积，为S1222，区域的面积S21222，区域的面积S322.根据几何概型的概率计算公式，得p1p2，p3，所以p1p3，p2p3，p1p2p3，故选A.【答案】A方向2与线性规划有关的几何概型【例3】两位同学约定下午5：306：00在图书馆见面，且他们在5：306：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是()A. B.C. D.【解析】因涉及两人见面时间，故考虑到是几何概型，建立坐标系列出满足条件的式子，计算出最终的概率因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲、乙各自到达的时刻)组成，以5：30作为时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系设甲、乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为(x，y)|0x30,0y30，画成图为一正方形，见面的充要条件为|xy|15，即事件A可以见面所对应的区域是图中的阴影部分，故由几何概型概率公式知所求概率为面积之比，即P(A).故选D.【答案】D方向3与随机模拟有关的几何概型【例4】从区间0,1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A. B.C. D.【解析】设由构成的正方形的面积为S，xy1构成的图形的面积为S，所以，所以.故选C.【答案】C求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解1(方向1)(2019湖南郴州质量检测)如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为(C)A. B.C1 D1解析：如题图，设黑色小圆的半径为r，则黑色大圆的半径为2r，由题意可知，8r8，即r1.图中黑色区域的面积为：S1884241222648，又正方形的面积S64.在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率P1.故选C.2(方向2)设点(a，b)在不等式组表示的平面区域内，则函数f(x)ax22bx3在区间上是增函数的概率为(A)A. B.C. D.解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示若函数f(x)ax22bx3在区间上是增函数，则即可得满足条件的平面区域为OBC.由得即C，则SOBC4，又SOAB448，故所求概率P，故选A.3(方向3)(2019河南濮阳一模)如图所示的长方形的长为2、宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为m粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为(B)A.B.C.D.解析：长方形的面积为2，图中飞鸟图案的面积与长方形的面积之比约为，故图中飞鸟图案的面积约为.故选B.考向三体积型几何概型 【例5】一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADFBCE内自由飞翔，则它飞入几何体FAMCD内的概率为()A.B.C.D.【解析】由题图可知VFAMCDSAMCDDFa3，VADFBCEa3，所以它飞入几何体FAMCD内的概率为.【答案】D与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为(C)A. B.C. D.解析：由三视图可知该立体图形为三棱锥，其底面是一个直角边长为3的等腰直角三角形，高为4，所以该三棱锥的体积为12，又外接球的直径2r为三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体的体对角线，即2r2，所以球的体积为，所以点落在四面体内的概率为.