2.5.3 直线与平面的夹角 1.掌握直线与平面的夹角的概念,能够用向量法求直线与平面的 夹角. 2.细心体会求空间中角的转化思想、数形结合思想,熟练掌握平 移、射影(投影)等方法. 3.灵活运用向量方法与综合方法,从不同的角度解决立体几何中 角的问题. 1.直线与平面的夹角的概念 (1)平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与 此平面的夹角,如图中的角. (2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内,我们规定这条直线 与平面的夹角为0. (3)如果一条直线与一个平面垂直,我们规定这条直线与平面的夹 角是 . (4)直线与平面所成角的范围是 . 【做一做1】 在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底 面,D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( ) A.30 B.45 C.60D.90 2.直线与平面夹角的向量求法 设平面的法向量为n,直线l的方向向量为a,直线l与平面所成的 角为. 3.夹角的计算常用方法 (1)定义法:利用角的定义作出所求的角,构造三角形求解,步骤:一 “作”;二“证”;三“求”. (2)向量法:根据题目条件建立合适的空间直角坐标系,写出有关 点的坐标,把所求的角转化为向量的夹角,避免了作角,使过程变得 简单. 题型一题型二题型三 【例1】 如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求A1B与平面A1B1CD所成 角的大小. 分析:求A1B与平面A1B1CD所成角的大小,可以先确定斜线A1B在 平面A1B1CD内的射影,再确定所求角,最后在三角形中求解.也可以 求出平面A1B1CD的法向量,利用向量法求解. 题型一题型二题型三 解:(方法一)如图所示,连接BC1,交B1C于点O,连接A1O. BC1B1C,A1B1BC1,A1B1B1C=B1, BC1平面A1B1CD, A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O, OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角. 设正方体的棱长为1, 题型一题型二题型三 (方法二)如图所示,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),C(0,1,0), 题型一题型二题型三 反思几何法是由线面角的定义,找到直线A1B与平面A1B1CD所成 的角,通过解三角形得出结果.此方法中,往往在斜线A1B上找一个特 殊点,并确定该点在平面上的射影,从而确定斜线的射影,找出所求 角.其关键是确定平面的垂线,并且要证明.这种方法的解题步骤可 总结为:一作,二证,三求. 向量法的关键是求平面的法向量,最后要注意求出的角 与所求角的关系,不要弄错. 题型一题型二题型三 【变式训练1】 如图所示,已知三棱锥P-ABC中,PA平面 ABC,ABAC,PA=AC= AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为 PB,BC的中点.求SN与平面CMN所成角的大小. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 【例2】 已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在 底面ABC内的射影为ABC的中心. (1)求异面直线AA1与BC的夹角; (2)求AB1与底面ABC所成角的正弦值. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 反思基向量法求空间角的基本思路:将空间角转化为两条直线的 方向向量的夹角(或其补角、余角),再构造基向量并借助向量的运 算求出角来. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 分析:根据空间几何体的结构建立空间直角坐标系后,根据直线 的方向向量的数量积为0证明线线垂直,根据二面角公式得方程,求 解线段比例.解决此类探索性问题,都是先假设存在,然后根据已知 条件和结论逐步进行计算和推导.若推出矛盾,则不存在,这是解决 探索性问题的常用方法. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 反思空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题,它无 需进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断.解 题时,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在 ”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等,所以 使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法解题. 题型一题型二题型三 【变式训练3】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点. (1)求直线BE和平面ABB1A1夹角的正弦值. (2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F平面A1BE?证明你的结论 . 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120,则直线l 与平面所成的角等于( ) A.120B.60C.30D.以上均错 解析:l的方向向量与平面的法向量的夹角为120, 它们所在直线的夹角为60. 则直线l与平面所成的角为90-60=30. 答案:C 1 2 3 4 5 3.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则直线BC1和 平面DBB1D1所成角的正弦值为( ) 答案:C 1 2 3 4 5 4.若直线l的方向向量a=(-2,3,1),平面的一个法向量n=(4,0,1),则直 线l与平面所成角的正弦值等于 . 1 2 3 4 5 5.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,E是BC的中点,F是棱CD上的 动点(非C,D两点),设二面角C1-EF-C的大小为.试确定点F的位置, 使得cos = . 分析:先设出点的坐标,再按照求二面角的步骤求出二面角的余弦 值,建立方程进行求解. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5