1 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 第9节 圆锥曲线的综合问题 最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥 曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想. 2 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 知 识 梳 理 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同 时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x( 或变量y)的一元方程， 3 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 (1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则： 0直线与圆锥曲线C_； 0直线与圆锥曲线C_； 0直线与圆锥曲线C_. (2)当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个 交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是_；若 C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是_. 相交 相切 相离 平行 平行或重合 4 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 2.圆锥曲线的弦长 5 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 微点提醒 1.直线与椭圆位置关系的有关结论 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切； (3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. 2.直线与抛物线位置关系的有关结论 (1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与 对称轴平行或重合的直线； (2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与 对称轴平行或重合的直线； (3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行 或重合的直线. 6 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.( ) (2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.( ) (3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.( ) 解析 (2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并 不相切.(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相 交，但不相切. 答案 (1) (2) (3) (4) 7 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 2.(选修21P71例6改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这 样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0，1)且平行 于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x0). 答案 C 8 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 3.(选修21P69例4改编)已知倾斜角为60的直线l通过抛物线x24y的焦点，且与抛物 线相交于A，B两点，则弦|AB|_. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y214，|AB|y1y2p14216. 答案 16 9 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 4.(2019浙江八校联考)抛物线yax2与直线ykxb(k0)交于A，B两点，且这两点的 横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则( ) A.x3x1x2 B.x1x2x1x3x2x3 C.x1x2x30 D.x1x2x2x3x3x10 答案 B 10 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 11 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 答案 D 12 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 13 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 第1课时 最值、范围、证明问题 14 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 考点一 最值问题 多维探究 角度1 利用几何性质求最值 A.9，12 B.8，11 C.8，12 D.10，12 15 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义 知|PA|PB|2a10，连接PA，PB分别与圆相交于两点，此时|PM|PN|最小， 最小值为|PA|PB|2R8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM| |PN|最大，最大值为|PA|PB|2R12，即最小值和最大值分别为8，12. 答案 C 16 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 角度2 利用基本不等式或二次函数求最值 【例12】 (2018郑州二模)已知动圆E经过点F(1，0)，且和直线l：x1相切. (1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程； (2)已知点A(3，0)，若斜率为1的直线l与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与 曲线G交于B，C两点，求ABC面积的最大值. 解 (1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离，动点E的轨迹是以 F(1，0)为焦点，直线x1为准线的抛物线，故轨迹G的方程是y24x. (2)设直线l的方程为yxm，其中34. 21 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 则MNF1的面积SMNF1|SNTF1SMTF1| 22 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 考点二 范围问题 【例2】 (2018浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点 ，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中 点均在C上. 23 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 24 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 规律方法 解决圆锥曲线中的取值范围问题应 考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题 的核心是建立两个参数之 间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确 定参数的取值范围. 25 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 又a2b2c2，b1，a2， 26 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0， 化简得m24k21， y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2. (4k25)x1x24km(x1x2)4m20， 27 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0， 28 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 考点三 证明问题 29 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 (2)解 由题意得F(1，0).设P(x3，y3)， 则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0). 由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0)，依题意，圆心C的坐标为(2，r). 即点M(0，1)，N(0，4). 当ABx轴时，可知ANMBNM0. 当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为ykx1. 34 创新设计 考点聚集突破知识衍化体验 所以ANMBNM. 综合知ANMBNM. 35 本节内容结束