关注微信公众号：数学研讨 获取更多数学资源专题5 平面向量第13讲 平面向量的概念与运算一、选择题1(2018全国卷)在中，为边上的中线，为的中点，则A BC D2(2018全国卷)已知向量，满足，则A4B3C2D03(2018天津)在如图的平面图形中，已知，则的值为A B C D04（2017新课标）设非零向量，满足则A B C D5（2017北京）设, 为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6（2016年天津）已知ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为ABCD7（2016全国III卷）已知向量 , 则A30 B45 C60 D1208(2015重庆)已知非零向量满足，且，则与的夹角为A B C D9（2015陕西）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是A BC D10（2015新课标2）向量，则A B C D11（2014新课标1）设分别为的三边的中点，则A B C D 12（2014新课标2）设向量,满足，则A1 B2 C3 D513(2014山东) 已知向量. 若向量的夹角为，则实数A B C0 D 14（2014安徽）设为非零向量，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为A B C D015（2014福建）在下列向量组中，可以把向量表示出来的是A BC D16（2014浙江）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，是最小值为1A若确定，则唯一确定 B若确定，则唯一确定C若确定，则唯一确定 D若确定，则唯一确定17(2014重庆)已知向量,且,则实数A B C D18（2013福建）在四边形中，,则该四边形的面积为A B C5 D1019（2013浙江）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有则A B C D20（2013辽宁）已知点，则与向量同方向的单位向量为A B C D21（2013湖北）已知点、，则向量在方向上的投影为A B C D 22（2013湖南）已知是单位向量，若向量满足，则的最大值为A B C D23（2013重庆）在平面上，,.若，则的取值范围是A、 B、 C、 D、24（2013广东）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：给定向量，总存在向量，使；给定向量和，总存在实数和，使；给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A1B2 C3 D425（2012陕西）设向量=（1,）与=（1,2）垂直，则等于A B C0 D126（2012浙江）设，是两个非零向量A若，则B若，则C若，则存在实数，使得D若存在实数，使得，则27（2011广东）已知向量=（1,2），=（1,0），=（3,4）若为实数， ，则=A B C1 D228（2011辽宁）已知向量，则A B C6 D1229（2010辽宁）平面上，三点不共线，设，则的面积等于A BC D30（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下面说法错误的是A若与共线，则BC对任意的，有D 二、填空题31(2018全国卷)已知向量，若，则_32(2018北京)设向量，若，则=_33（2017新课标）已知向量，若向量与垂直，则=_34（2017新课标）已知向量，且，则= 35（2017天津）在ABC中，AB=3，AC=2若，（），且，则的值为 36（2017山东）已知向量，若ab，则 37（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且，与的夹角为。若=+（，），则= 38（2016年全国I卷高考）设向量，且，则= 39（2016年全国II卷高考）已知向量，且ab，则m=_40（2015江苏）已知向量，若（R），则 的值为_41（2015湖北）已知向量，则 42(2015新课标1)设向量不平行，向量与平行，则实数= _43(2015浙江)已知，是平面单位向量，且若平面向量满足，则 44（2014新课标1）已知，是圆上的三点，若，则与的夹角为 45(2014山东)在中,已知,当时,的面积为 46（2014安徽）已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个 和3个排列而成记，表示所有可能取值中的最小值则下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）有5个不同的值若则与无关若则与无关若，则若，则与的夹角为47(2014北京)已知向量、满足，且()，则_48（2014陕西）设，向量，若，则_49（2014四川）平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则_50（2013新课标1）已知两个单位向量，的夹角为，若，则_51(2013新课标2)已知正方形的边长为，为的中点，则_52（2013山东）已知向量与的夹角，且|=3，|=2，若，且，则实数的值为_53（2013浙江）设，为单位向量，非零向量，若，的夹角为，则的最大值等于_54（2013天津）在平行四边形ABCD中，AD = 1，E为CD的中点若， 则AB的长为 55（2013北京）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若 (，R)，则= 56（2013北京）已知向量，夹角为，且，则57（2012湖北）已知向量=（1，0），=（1，1），则（）与同向的单位向量的坐标表示为_；（）向量与向量夹角的余弦值为_58（2012安徽）若平面向量，满足：；则的最小值是59（2011浙江）若平面向量，满足|=1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是 60（2011江苏）已知，是夹角为的两个单位向量， 若，则的值为 61（2011新课标）已知与为两个不共线的单位向量，为实数，若向量+与向量-垂直，则=_62（2011安徽）已知向量满足，且，则与的夹角为 63（2010陕西）已知向量=（2，1），=（1，m），=（1,2），若（+），则= 答案部分1A【解析】通解 如图所示，故选A优解 故选A2B【解析】，故选B3C【解析】由，可知，由，可知，故，连接，则，且，故选C4A【解析】由两边平方得，即，则，故选A5A【解析】因为为非零向量，所以的充要条件是因为，则由可知的方向相反，所以，所以“存在负数，使得”可推出“”；而可推出，但不一定推出的方向相反，从而不一定推得“存在负数，使得”，所以“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件6B【解析】设，故选B.7A【解析】由题意得，所以，故选A8C【解析】由题意，得，即，所以，所以，故选C9B【解析】对于A选项，设向量、的夹角为，A选项正确；对于B选项，当向量、反向时，B选项错误；对于C选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C选项正确；对于D选项，根据向量的运算法则，可推导出，故D选项正确，综上选B10C【解析】由题意可得，所以故选C11A【解析】12A【解析】由 ， ，得13B【解析】由题意得，两边平方化简得，解得，经检验符合题意14B【解析】设，若的表达式中有0个，则，记为，若的表达式中有2个，则，记为，若的表达式中有4个，则，记为，又，所以，故，设的夹角为，则，即，又，所以15B【解析】对于A，C，D，都有，所以只有B成立16B【解析】由于，令，而是任意实数，所以可得的最小值为，即，则知若确定，则唯一确定17C【解析】，所以=解得，选C18C【解析】因为，所以，所以四边形的面积为，故选C19D【解析】由题意，设，则，过点作的垂线，垂足为，在上任取一点，设，则由数量积的几何意义可得，于是恒成立，相当于恒成立，整理得恒成立，只需即可，于是，因此我们得到，即是的中点，故是等腰三角形，所以20A【解析】，所以，这样同方向的单位向量是21A【解析】=（2,1），=（5,5），则向量在向量方向上的射影为22C【解析】建立平面直角坐标系，令向量的坐标，又设，代入得，又的最大值为圆上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1，1)到原点的距离加圆的半径，即23D【解析】因为，所以可以A为原点，分别以，所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系设B1(a,0)，B2(0，b)，O(x，y)，则(a，b)，即P(a，b)由|1，得(xa)2y2x2(yb)21.所以(xa)21y20，(yb)21x20.由|，得(xa)2(yb)2，即01x21y2.