立体几何第二讲 简单几何体 2004年高考辅导讲座 学习内容： 本章内容是简单几何体中 常见的棱柱、棱锥和球的概念性 质及面积、体积的计算.它是建立 在第一章线面关系和两个体积公 理的基础上研究上述几何体的性 质及体积公式的。 学习要求： 熟练掌握上述几何体 的性质并能灵活运用这些性 质和第一章的有关知识，判 定这些几何体中的线面关系 ，进一步巩固和加深对线面 关系的理解，提高空间想象 ，逻辑思维和计算能力。 学习指导： 本章在学习中要灵活运用 转化的思想、函数与方程的思想。 转化思想：把空间问题转化为 平面问题；运用切割与组合的思想， 把一个复杂的几何体转化为几个简单 的几何体；运用等积法化难为易。 函数与方程思想：把面积体 积公式看成函数表达式，运用函数性 质去研究问题；把体积面积公式看作 列方程和方程组的等量关系来解决问 题。 棱柱 概念 性质 斜棱柱 直棱柱 正棱柱* 其他棱柱 侧面积 体积 lcs chs 直斜 直 = = 注：四棱柱-平行六面体-直平行六体- 长方体-正四棱柱-正方体 棱锥 概念 性质 侧面积 正棱锥* 一般棱锥 一般棱锥侧面积 求各面面积之和 体积 注：解题中应灵活运用三棱锥（可以 任意换底）的特殊性，处理问题。 多面体 定义 体积*(转化思想) 分类 四面体、五面体等 凸（凹）多面体等 欧拉公式: 球 定义 截面性质 表面积 体积 .o 极限 思想 二典型例题解析与规律方法技巧总结 例、设有三个命题： 甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体。 乙：底面是矩形的平行六面体是长方体。 丙：直四棱柱是直平行六面体。 以上命题中真命题的个数是 （ ） (A) 0 (B) 1 (C ) 2 (D) 3 此题为年全国高考题，答案为B. 例2、如图，圆锥形容器高为h底面平行于水平面， 锥顶朝上放置，内部装有水面高度为h/3的水，现将 圆锥倒置，使锥顶朝正下方向，此时容器内的水面 高度为（ ） h ? 答案为 例 如图：这是一个正方体的展开图 ，若将其折回正方体，则有下列命题： (1点H与点C重合 (2)点D与M,R点重合 (3)点B与点Q重合 (4)点A与点S重合 其中正确的是（ ） AB C D EFGH N M PQ RS 答案：（）（） 例4、在正三棱锥 A-BCD中，E,F分别是AB,BC中点， EF DE且BC=1则正三棱锥A-BCD的体积是 A B C D E F 分析：此题容易忽略正三棱锥 固有的隐含条件：对棱垂直即 AC BD。再由平行关系可得 AC 面ABD，故该正三棱锥 三条侧棱两两互相垂直，解得 体积为 例5、正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其 边界上运动,并且总保持AP BD1则动点P的轨迹是( ) (A) 线段 B1C (B)线段 BC1 (C) BB1中点与CC1中点连成的线段 (D) BC 中点与B1C1中点连成的线段 A B CD A1 B1 C1 D1 P 解析：AP在点P运动的过程中 总保持与BC1垂直，说明BD1 可能垂直于点A所在的平面， 由此联想到与正方体体对角线 垂直的平面ACB1，即点P在 B1C上运动时满足题意。 故选A. 例6、如图已知多面体ABC-DEFG中，AB,AC,AD两两 互相垂直，平面ABC 平面DEFG,平面BEF 平面ADGC AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为 分析：可将该多面体如 图1分割成两个四棱锥 求体积之和。 A B C D EF G 图1 还可将其如图2所示分成两个三棱柱求体积之和。 A B C D EF G 图2 M 答案：4 例7、如图，已知 是正三棱柱，D是AC 中点 （）证明： 平面 （）假设 求以 为棱, 与 为 面的二面角的度数。 A B C D 分析：(1)问的关键是 在平面 内找到 与 平行的线。由 已知D是中点想到利用 中位线来找平行线。 连接 则DE即可。 E F A B C D E 分析（）问的关键是找到二面角的平面角，找平面角 的方法是三垂线法。 作DF BC,则DF 平面 ,连接EF，则EF是ED 在 平面 上的射影。 根据三垂线定理的逆定理，得 是二面角的平面角 。 放在三角形中解 得的结果是 例8、如图四棱锥P-ABCD中，底面四边形为正方形， 侧面PDC为正三角形，且平面PDC 底面ABCD， E为PC中点。 （1）求证：PA 面EDB. （2）求证：平面EDB 平面PBC. （3）求二面角D-PB-C的正切值。 A B C P E D O 证1：连接AC交BD于O 易证PA EO,(1)问得证 (2)问的关键是在一个面内找到另一个面的垂线,由于要寻 找垂直条件故应从已知与垂直有关的条件入手,突破此问. 因为BC CD所以BC 面PDC 所以 BC DE 又因为E是中点所以 DE PC.综上 有DE 面PBC. A B C P E D F (3)问的关键是找到二面角的平面角上 问知DE 面PBC,所以过E做EF PB ,连接FD,由三垂线定理知 DEF为二 面角平面角.将平面角放在直角 三角形中可解得正切值为. 练习1 已知平面 及以下三个几何体： （）长宽高皆不相等的长方体。 （）底面为平行四边形但不是矩形和菱形四棱柱 。 （）正四面体 这三个几何体在平面 上的射影可以是正方形 的几何体是（ ） 三、巩固与练习: 答案为：1，2，3 练2、 三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P为侧棱BB1 上 的 任意一点，四棱锥P-ACC1A1的体积为V1， 则V1:V= A B C P A1 B1 C1 分析：此题需将四棱锥 的体积转化为柱体体积 与两个三棱锥体积之差 求解。 答案：2：3 练3、已知长方体的全面积为，十二条棱长度之 和为，则这个长方体的一条对角线长为（ ） 解题关键：整体性思维 答案： ;练4、如图，已知 是正三棱柱，D是AC 中点 （）证明： 平面 （）假设 求以 为棱, 与 为 面的二面角的度数。 ;练5、在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球， 钢球恰与此三棱锥的四个面都接触，按这三棱锥的一条 侧棱和高做截面，正确的截面图形是（ ） AB CD答案D 练6、已知;四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形, PO 底面ABCD,若PD=6,M,N分别是PB,AB的中点. (1)求三棱锥P-DMN的体积. (2)求二面角M-DN-C的大小. A B C D P M N (1)问体现了三棱锥体积求法的 灵活性解法较多。结果为4。 （2）问二面角正切值 练习7、正方体中BE=DF,截面AEGF交CC1于G,且与底面 ABCD成的二面角，AB=1则以ABCDEFG为顶点的 多面体体积是 AB C D E F G A1 B1 C1 D1 求不规则多面体体积的 基本思想是将其转化成 我们熟悉的柱体或锥体 求解。转化的手段或割 或补。 此题割补均可获解。 法1、如图将多面体体积转化为大三棱锥与两个小三棱锥 体积之差求解。 AB C D E F G A1 B1 C1 D1 M N AB C D E F G A1 B1 C1 D1 法2、如图可将多面体分成两个等体积的四棱锥而后求解 较法1更为简捷。 M N 法3、如图，由对称性还可以将该多面体补形为长方体， 且该长方体体积为多面体体积的两陪。较法2更简单。 答案： 练习8、已知底面ABCD是矩形，AB=9,BC=6 EF 平面ABCD,EF=3， ADE和 BCF都是正三角形。 （1）求异面直线AE和CF所成的角。 （2）求平面FBC与底面ABCD所成锐二面角的正切值。 （3）求该几何体体积。 A B C D EF 9 6 3 答案: 1问 2问 3问