目录 上页 下页 返回 结束 习题课 级数的收敛、求和与展开 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和傅式级数 展开法 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 第十二章 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 求和 展开 (在收敛域内进行) 基本问题：判别敛散；求收敛域； 求和函数；级数展开. 为傅里叶级数.为傅氏系数) 时 , 时为数项级数; 时为幂级数; Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 一、数项级数的审敛法 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分审敛法 部分和极限 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 3. 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz审敛法: 若 且 则交错级数收敛 , 概念: 且余项 若收敛 , 称 绝对收敛 若发散 , 称条件收敛 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 若级数 均收敛 , 且 证明级数收敛 . 证: 则由题设 收敛收敛 收敛 练习题: P320 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 解答提示: P320 题2. 判别下列级数的敛散性: 提示: (1) 据比较审敛法的极限形式, 原级数发散 . Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 原级数发散 故原级数收敛 发散, 收敛, 用洛必达法则 , 原级数发散 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 时收敛 ; 时, 为 p 级数 时收敛; 时发散. 时发散 . Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 P320 题3. 设正项级数 和 也收敛 . 法1 由题设 根据比较审敛法的极限形式知结论正确. 都收敛, 证明级数 法2 因 故存在 N 0,当n N 时 从而 再利用比较法可得结论 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 P320 题4. 设级数收敛 , 且 是否也收敛？说明理由. 但对任意项级数却不一定收敛 . 问级数 提示: 对正项级数,由比较判别法可知 级数收敛 , 收敛, 级数发散 . 例如, 取 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 P320 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 提示: (1) p 1 时, 绝对收敛 ; 0 p1 时, 条件收敛 ; p0 时, 发散 . (2) 故原级数绝对收敛. Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 因单调递减, 且 但对 所以原级数仅条件收敛 . 由Leibniz审敛法知级数收敛 ; Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 因 所以原级数绝对收敛 . Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R : 再讨论 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 . P320 题7. 求下列级数的敛散域: 练习: (自证) Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 解: 当 因此级数在端点发散 , 时, 时原级数收敛 . 故收敛域为 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 解: 因 故收敛域为 级数收敛; 一般项不趋于0, 级数发散; Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数 极限不存在 原级数 = 其收敛半径 注意: 此题 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 求部分和式极限 三、幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分 对和函数求积或求导 难 直接求和: 直接变换, 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值 求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内） 数项级数 求和 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求幂级数 法1 易求出级数的收敛域为 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 法2 先求出收敛区间 则设和函数为 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 练习: 解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确, 故和函数为 而在 x0 P320 题8. 求下列幂级数的和函数： 级数发散, Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 (4)x0 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 显然 x = 0 时, 级数收敛于0, 根据和函数的连续性 , 有 x = 1 时, 级数也收敛 . 即得 又 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 练习: 解: 原式= 的和 .P320 题9(2). 求级数 注: 本题也可利用例3间接求和. 例3 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 四、函数的幂级数和傅式级数展开法 直接展开法 间接展开法 练习: 1) 将函数展开成 x 的幂级数. 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式 解: 1. 函数的幂级数展开法 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 2) 设 , 将 f (x)展开成 x 的幂级数 ,的和. ( 2001考研 ) 解: 于是 并求级数 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数的傅式级数展开法 系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法 练习: 上的表达式为 将其展为傅氏级数 . P321 题11. 设 f (x)是周期为2的函数, 它在 解答提示 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 如何利用本题结果求级数 根据傅式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有提示: Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 P320 6 (2); 7 (3); 8 (1), (3) ; 9(1) ; 10 (1) ; 12 作业 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 设幂级数 满足 解: 设 内收敛, 其和函数 (1) 证明 (2) 求 y(x) 的表达式. 则由 代入微分方程得 ( 2007考研 ) Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 分析 , 故得 (2) 由(1) 知 可见 Date同济版高等数学课件