10-3 可降阶的高阶微分方程 1 复习 1. 微分方程的概念 微分方程; 阶;定解条件.解; 通解; 特解; 分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分-隐式通解. 的微分方程.3.齐次方程 解法： 作变量代换 2. 可分离变量方程 的求解方法: 2 4. 一阶线性齐次微分方程 5. 一阶线性非齐次微分方程 （1）一般式 （2）通解公式 （1）一般式 （2）通解公式 解法？ 3 10-3 可降阶的高阶微分方程 高阶微分方程定义：二阶及二阶以上的微分方程. 可降阶的高阶微分方程：可以通过代换将它化为较低 阶的方程来解， 这种类型的方程称为可降阶的方程. 相应的解法称为降阶法. 一般形式： 特点： 解法：接连积分n次，得通解 4 解解 所以原方程通解为所以原方程通解为 5 特点：特点：不显含未知函数不显含未知函数 y y. . 解法：解法： 代入原方程,得这是一阶微分方程. 解解 代入原方程,得积分 两边积分得: 6 解解 代入原方程 分离变量,得积分得 对它两端积分对它两端积分, ,得得 原方程通解为原方程通解为 7 特点：特点： 不显含自变量不显含自变量 x x. . 解法：解法： 代入原方程,得 这是一阶微分方程. 解解 8 解解 9 解解 分离变量得分离变量得 两端积分两端积分, ,得得 则得则得 于是有于是有 由于由于所以取正的一支所以取正的一支. .即即 10 由于所以取正的一支.即 分离变量并两边积分得 从而所求的特解为 注意： 在求特解的过程中， 出现任意常数后，马上用初值条件 代入，可以使运算简化. 数时，可根据已知条件定出其中一支. 当出现几支函确定任意常数， 11 高阶线性微分方程及其通解结构 第四节 二、n阶线性微分方程的通解结构 一、二阶线性微分方程的通解结构 第十章 12 式叫二阶线性齐次微分方程 式叫二阶线性非齐次微分方程 n 阶线性微分方程的一般形式为 时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程. 一、二阶线性微分方程的通解结构 二阶线性微分方程的定义 13 回顾: 一阶线性方程 齐次通解Y非齐次特解 y* 二阶线性微分方程 式叫二阶线性齐次微分方程 式叫二阶线性非齐次微分方程 14 1.二阶齐次线性微分方程解的结构: 15 说明: 不一定是方程(1)的通解. 就是它的通解. 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 16 定义: 例如线性无关. 线性相关. 特别地： 17 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 常数 思考:相关 18 就是它的通解 . 推论: 19 证明 2. 2.线性非齐次线性微分方程解的结构线性非齐次线性微分方程解的结构 推论： 20 说明: 只须求它的一个特解和 的两个线性无关的特解 则 的通解为 齐次通解Y+非齐次特解 y*非齐次通解 y = 例如, 方程有特解且 故方程的通解为 又知 方程有特解 因此 的通解为 21 设非齐次方程(2)的右端是几个函数之和， 若 而与 分别是方程 的特解，那么就是原方程的特解. 定理4. 解的叠加原理 定理 5. 是对应齐次方程的 n 个线性无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为 齐次方程通解 非齐次方程特解 22 通解是 ( ). 例1. 提示: 都是对应齐次方程的解, 二者线性无关 . (反证法可证) 23 例2. 解: 且 常数, 因而线性无关,故原方程通解为 代入初始条件 故所求特解为 24