中值定理 应用：洛必达法则（求解未定式极限） 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 推广 三.微分中值定理 目录 上页 下页 返回 结束 一、罗尔( Rolle )定理 第一节 二、拉格朗日( Lagrange )中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 目录 上页 下页 返回 结束 费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 且 存在 证: 设 则 证毕 目录 上页 下页 返回 结束 罗尔（ Rolle ）定理 满足: (1) 在区间 a , b 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 证:故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点 目录 上页 下页 返回 结束 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 注意: 定理的条件不全具备, 结论不一定 成立. 则由费马引理得 例如, 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 证明方程有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则在 0 , 1 连续 , 且 由介值定理知存在使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 至少存在一点 但矛盾, 故假设不真! 设 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理 (1) 在区间 a , b 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点使 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 ,在a, b 上连续, 在(a, b)内可导, 且 证: 问题转化为证 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 . 证毕 目录 上页 下页 返回 结束 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论: 若函数在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数. 证: 在 I 上任取两点 格朗日中值公式 , 得 由 的任意性知, 在 I 上为常数 . 令则 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 证明等式 证: 设 由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立. 自证: 经验: 欲证 时只需证在 I 上 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 即 因为 故 因此应有 目录 上页 下页 返回 结束 三、柯西(Cauchy)中值定理 分析: 及 (1) 在闭区间 a , b 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点使 满足 : 问题转化为证 构造辅助函数 目录 上页 下页 返回 结束 证: 作辅助函数 且 使即由罗尔定理知, 至少存在一点 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? 两个 不 一定相同 错! 上面两式相比即得结论. 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 设 至少存在一点使 证: 问题转化为证 设则 在 0, 1 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使 即 证明 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 试证至少存在一点使 证: 用柯西中值定理 . 则 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件, 令 因此 即 分析: 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 微分中值定理的条件、结论及关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 关键: 利用逆向思维 设辅助函数 费马引理 目录 上页 下页 返回 结束 二、几个初等函数的麦克劳林公式 第二节 一、泰勒公式的建立 三、泰勒公式的应用 应用目的用多项式近似表示函数 . 理论分析 近似计算 泰勒公式 目录 上页 下页 返回 结束 特点: 一、泰勒公式的建立 以直代曲 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x 的一次多项式 目录 上页 下页 返回 结束 1. 求 n 次近似多项式要求: 故 令 则 目录 上页 下页 返回 结束 2. 余项估计 令(称为余项) , 则有 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒(Taylor)公式: 阶的导数 ,时, 有 其中 则当 目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为n 阶泰勒公式的皮亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 注意到 * 可以证明: 式成立 目录 上页 下页 返回 结束 特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 可见 误差 目录 上页 下页 返回 结束 称为麦克劳林( Maclaurin )公式 . 则有在泰勒公式中若取 则有误差估计式若在公式成立的区间上 由此得近似公式 目录 上页 下页 返回 结束 二、几个初等函数的麦克劳林公式 其中 麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 其中 麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 麦克劳林公式 类似可得 其中 目录 上页 下页 返回 结束 其中 麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 已知 其中 因此可得 麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用 1. 在近似计算中的应用 误差 M 为在包含 0 , x 的某区间上的上界. 需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围. 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 解: 已知 令 x = 1 , 得 由于欲使 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 的麦克劳林公式为 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 用近似公式计算 cos x 的近似值, 使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围. 解: 近似公式的误差 令 解得 即当时, 由给定的近似公式计算的结果 能准确到 0.005 . 目录 上页 下页 返回 结束 2. 利用泰勒公式求极限 例3. 求 解:由于用泰勒公式将分子展到项, 目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用泰勒公式证明不等式 例4. 证明 证: + 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 泰勒公式 其中余项 当时为麦克劳林公式 . 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用函数的麦克劳林公式 3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算 (3) 其他应用求极限 , 证明不等式 等. (2) 利用多项式逼近函数 目录 上页 下页 返回 结束 泰勒多项式逼近 642246 4 2 2 4 O 目录 上页 下页 返回 结束 泰勒多项式逼近 642246O 4 2 2 4 目录 上页 下页 返回 结束 三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 第三节 洛必达法则 目录 上页 下页 返回 结束 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则 目录 上页 下页 返回 结束 一、 存在 (或为 ) 定理 1. 型未定式 (洛必达法则) 目录 上页 下页 返回 结束 ( 在 x , a 之间) 证: 无妨假设 在指出的邻域内任取 则在以 x, a 为端点的区间上满足柯 故 定理条件: 西定理条件, 存在 (或为 ) 目录 上页 下页 返回 结束 推论1. 定理 1 中换为下列过程之一: 推论 2. 若 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. 洛必达法则 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求 解: 原式 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 洛 洛 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求 解: 原式 洛 目录 上页 下页 返回 结束 二、型未定式 存在 (或为) 定理 2. 证: 仅就极限存在的情形加以证明 . (洛必达法则) 目录 上页 下页 返回 结束 1)的情形 从而 目录 上页 下页 返回 结束 2)的情形. 取常数 可用 1) 中结论 目录 上页 下页 返回 结束 3)时, 结论仍然成立. ( 证明略 ) 说明: 定理中换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立. 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求 解: 原式 例4. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式 洛 洛洛 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求 (2) n 不为正整数的情形. 从而 由(1) 用逼近准则 存在正整数 k , 使当 x 1 时, 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 例3. 说明: 1) 例3 , 例4 表明时, 后者比前者趋于更快 . 例如, 事实上 用洛必达法则 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 目录 上页 下页 返回 结束 3) 若 例如, 极限不存在 不能用洛必达法则 ! 即 目录 上页 下页 返回 结束 三、其他未定式: 解决方法: 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 例5. 求 解: 原式 洛 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 例6. 求 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 洛 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 求 解: 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 求 解: 注意到 原式 洛 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 洛必达法则 目录 上页 下页 返回 结束 作业 1. 设且在内可导, 证明至少存 在一点使 2 .泰勒公式计算 3.洛必达法求下列极限 :