第五章 习题1 一平行板电容器的两极板都是半径为 的圆导体片，在充电时，其中电场强度的变化率为： 。试求： （1） 两极板间的位移电流 ； （2） 极板边缘的磁感应强度 。 解: （1）如图所示,根据电容器极板带电情况，可知电场强度 的方向水平向右（电位移矢量 的方向与 的方向相同）。 因电容器中为真空，故 。忽略边缘效应，电场只分布在两板之间的空间内，且为匀强电场。已知圆板的面积 ，故穿过该面积的 的通量为 由位移电流的定义式，得电容器两板间位移电流为 因 ，所以 的方向与 的方向相同，即位移电流的方向与 的方向相同。 （2）由于忽略边缘效应，则可认为两极板间的电场变化率是相同的，则极板间的位移电流是轴对称分布的,因此由它所产生的磁场对于两板中心线也具有轴对称性。在平行板电容器中沿极板边缘作以半径为 的圆，其上 的大小相等，选积分方向与 方向一致，则由安培环路定理可得 （全电流）因在电容器内传导电流 ，位移电流为 ，则全电流为 所以 极板边缘的磁感应强度为 根据右手螺旋定则，可知电容器边缘处的磁感应强度 的方向，如图所示。2 一平行板电容器的两极板为圆形金属板，面积均为 ，接于一交流电源时，板上的电荷随时间变化，即 。试求： （1） 电容器中的位移电流密度的大小； （2） 设 为由圆板中心到该点的距离，两板之间的磁感应强度分布 。解: （1）由题意可知， ，对于平行板电容器电位移矢量的大小为 所以，位移电流密度的大小为 （2）由于电容器内无传导电流，故 。又由于位移电流具有轴对称性，故可用安培环路求解磁感应强度。设 为圆板中心到场点的距离，并以 为半径做圆周路径 。根据全电流安培环路定理可知 通过所围面积的位移电流为 所以 . 最后可得 3. 如图（a）所示，用二面积为 的大圆盘组成一间距为 的平行板电容器，用两根长导线垂直地接在二圆盘的中心。今用可调电源使此电容器以恒定的电流 充电，试求： （1） 此电容器中位移电流密度； （2） 如图（b）所示，电容器中 点的磁感应强度； （3） 证明在此电容器中从半径为 厚度为 的圆柱体表面流进的电磁能与圆柱体内增加的电磁能相等。 解:（1）由全电流概念可知，全电流是连续的。电容器中位移电流密度 的方向应如图（c）所示，其大小为 通过电源给电容器充电时，使电容器极板上电荷随时间变化，从而使极板间电场发生变化。因此，也可以这样来求 ： 因为 由于 ，因此 所以 （2）由于传导电流和位移电流均呈轴对称，故磁场 也呈轴对称，显然过 点的 线应为圆心在对称轴上的圆，如图（c）所示。 根据全电流安培环路定理，将 用于此 线上，有 得 所以 （3）在电容器中作半径为 厚度为 的圆柱体，如图（d）所示。由坡印廷矢量 分析可知， 垂直指向圆柱体的侧壁，这表明电磁场的能量是从侧壁流入圆柱体内的。在单位时间内流入的能量为 因为 所以 由于传导电流和位移电流都不随时间变化，故磁场和磁场的能量也都不随时间变化。但电容器中的电场是随时间增强的，故电场的能量是随时间增加的。图（d）中圆柱体内单位时间内增加的电场的能量为 显然，单位时间内流入圆柱体的能量与圆柱体内增加的能量相等。 4 如图所示，已知电路中直流电源的电动势为 电阻 ，电容器的电容 ，试求： （1） 接通电源瞬时电容器极板间的位移电流； （2） 时，电容器极板间的位移电流； （3） 位移电流可持续多长时间。（通常认为经过10倍电路时间常数 后电流小到可忽略不计）解: 对 串联电路的暂态过程有 求解该方程得： ，表示极板上的电荷量是随时间变化。在电容器内，由上题结论得电容器中的位移电流为 对应不同的情况，可求得 （1）在接通电源的瞬时 ，电容器极板间的位移电流 。 （2）当 时， （3）在 时可认为电流忽略不计，即 。所以 5 一球形电容器，其内导体半径为 ，外导体半径为 ，两极板之间充有相对介电常数为 的介质。现在电容器上加电压，内球与外球的电压为 ，假设 不太大，以致电容器电场分布与静电场情形近似相等，试求介质中的位移电流密度以及通过半径为 的球面的位移电流。解: 设电容器极板上带有电荷 ，由位移电流密度公式可知 由于球形电容器具有球形对称，用电场高斯定理求出球形极板间的电位移矢量为 （ 为径向单位向量） 球形电容器极板间的电势差为 与上式联立，消去 ，得 所以位移电流密度为 在电容器中，作半径为 的球面 ，通过它的位移电流为 的流向沿径向，且随时间变化。6 如图所示，电荷 以速度 向 点运动（ 到 点的距离以 表示）。在 点处作一半径为 的圆，圆面与 垂直。试求通过该圆面的位移电流和圆周上各点处的磁感应强度 。 解: 电荷在其周围要激发电场，同时由于电荷运动，根据麦克斯韦假设，此时随时间变化的电场又激发磁场。设 时间穿过圆面上的电位移通量为 为使计算简便，可以 为球心， 为半径， 为小圆半径的底面，做一球冠，球面上各点的 的大小相等，穿过题意圆面的电位移通量与穿过球冠的电位移通量相等。即 代入位移电流的定义式，得取半径为 的圆为积分回路 ，由麦克斯韦方程，有