辽宁省鞍山市第一中学2019届高三第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.已知全集，集合，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】易知，又，所以.所以 或.故选：A2.已知，则“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合充分条件、必要条件的判定，即可。【详解】当,可以得到,反过来若，则或，所以为充分不必要条件，故选A.【点睛】考查了充分条件的判定，考查了必要条件的判定，难度较容易。3.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】要使函数有意义，需满足，解得，即函数的定义域为，故选D.4.等差数列和的前n项和分别为与，对一切自然数n，都有，则等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用等差数列满足，代入，计算，即可。【详解】，故选D。【点睛】考查了等差数列的性质，关键抓住，即可，难度中等。5.函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合正弦函数的基本性质,抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可.【详解】当时,当,因为在只有一条对称轴,可知,解得,故选C.【点睛】考查了正弦函数的基本性质,关键抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可.6.中为其内角，设，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：直接利用向量的共线的充要条件，列出方程，解出A值，代入即可.详解：=（，），=（，）且， =， =1，a是锐角，所以 =90， =45.故选：B点睛：本题考查向量共线的充要条件的应用，三角函数的化简求值，属于基础题7.已知函数，在其定义域上单调，则的值不可能的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由其定义域上单调，明确且，进而即可作出判断.详解：函数在其定义域上单调，又在上单调递减，且即且故选：D点睛：本题考查对分段函数和函数单调性的理解掌握程度，若分段函数具有单调性关键点和难点都是在分段点处函数值的比较8.若均为锐角且，则=（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】为锐角， ， ，故选B.9.点P为所在平面内的动点，满足，则点P的轨迹通过的A. 外心 B. 重心 C. 垂心 D. 内心【答案】C【解析】【分析】对题目的式子两边乘以，得到所在直线为高所在直线，即可。【详解】处理原式得到故所在的直线与三角形的高重合，故经过垂心，故选C。【点睛】考查了平面向量数量积，考查了垂心的性质，关键得到,即可，难度偏难。10.定义在R上的偶函数，满足，且在为减函数，则在锐角中有A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合偶函数和周期的性质，判定在的单调性，结合函数单调性，判定不等关系，即可。【详解】由，可得函数周期为2.由在为减函数，可得在为减函数，又为偶函数，所以在为增函数，所以根据三角形ABC为锐角三角形，可知，故，故，故选A。【点睛】考查了函数图像的单调性，考查了偶函数的性质，关键得到在单调性，即可，难度偏难。11.已知是等边的外接圆，其半径为4，M是所在平面内的动点，且，则的最大值为A. 4 B. 6 C. 8 D. 10【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合平面向量基本定理，表示所求式子，计算最值，即可。【详解】结合题意，绘制图形，可知，代入得到故而故要计算最大值，可知当的时候，取到最大值，故最大值为，故选C。【点睛】考查了平面向量基本定理，关键表示出所求式子，难度偏难。12.已知，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：将函数的绝对值去掉，画出函数的草图，对于二次函数，进行换元处理，得到方程两根为结合图像得到对应三个根，对应一个根，列出不等式解出即可.详解： ，画出函数的图像得到，函数在，画出草图，极大值点为，极大值为关于的方程，设t=,则原方程化为 其中方程两根为 结合图像得到对应三个根，对应一个根，所以 故答案为：D.点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数，则_（是的共轭复数）【答案】2【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，进而得到最后求出复数的模即可详解：由，可得，故答案为：2点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.14.已知数列是等差数列，数列是等比数列，满足：，则_【答案】【解析】数列是等差数列，数列是等比数列，即；.故答案为.15.已知函数的图象与直线的三个交点的横坐标分别为，其中，那么的值为_【答案】【解析】【分析】绘制图形，关键找出A,B两点关于对称，B，C关于对称，计算，即可。【详解】结合题意，绘制图形，可知A,B两点关于对称，B，C关于对称，所以，故【点睛】考查了三角函数的性质，关键得出A,B两点关于对称，B，C关于对称，即可，难度偏难。16.是R上可导的奇函数，是的导函数已知时，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】构造函数，判定单调性，建立关于x的不等式，计算结果，即可。【详解】构造新函数，则，结合当时，可知，在时递增的.则.由，得，令，即所以，得到，解得【点睛】考查了利用导函数判定原函数单调性，考查了构造函数的思想，难度偏难。解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.己知数列的前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）运用，证明数列是等比数列，计算通项，即可。（2）将通项代入，得到的通项，结合裂项相消法，计算求和，即可。【详解】（1）数列的前n项和为，且当时，解得：当时，得：，整理得：，即：常数，所以：数列是以，3为公比的等比数列，则：首项符合，故：（2）由于，所以，所以：，则：，【点睛】考查了等比数列的判定，考查了裂项相消法，考查了等比数列通项计算方法，难度中等。18.已知函数（）求函数的最小正周期及单调增区间；（）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且ABC的面积为，求a，b的值.【答案】()答案见解析；()或.【解析】分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期及单调增区间；（2）先根据求C，再根据三角形面积公式得，由余弦定理得，最后解方程组得结果.详解：（），所以最小正周期T=；由，得函数的增区间为（）由得，由余弦定理，由解得或点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征19.已知等差数列的公差不为零，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，的前n项和为，求【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将等差数列通项代入，计算公差，计算通项，即可。（2）得到通项，结合错位相减法，即可。【详解】(1)等差数列的公差d不为零，且，成等比数列，可得，即，解得舍去，则；(2)，相减可得，化简可得【点睛】考查了等差数列通项公式计算方法，考查了错位相减法，关键利用错位相减法求和，即可，难度中等。20.已知函数在点处的切线方程为（1）求a，b的值；（2）求证：【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）计算导函数，结合切线方程，建立等式，计算参数，即可。（2）得到，计算导函数，计算最值，建立不等关系，即可。【详解】(1)函数的导数为，函数在点处的切线斜率为，由切线方程，可得，解得，；(2)证明：，导数为，易知为增函数，且.所以存在,有,即，且时，递增；时，递减，可得处取得最小值，可得成立【点睛】考查了函数导数计算方法，考查了利用导数计算最值问题，做第二问关键利用导数计算最值，难度偏难。21.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，S为的面积，（1）证明：；（2）若，且为锐角三角形，求S的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式表示S，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可。（2）结合三角形ABC为锐角三角形，判定tanC的范围，利用tanC表示面积，结合S的单调性，计算范围，即可。【详解】(1)证明：由，即，B，(2)解：，且，为锐角三角形，为增函数，【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难。22.已知函数（1）若对的定义域内的任意x都有，求实数a的取值范围；（2）若，记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）构造函数，判定单调性，计算最值，计算a的范围，即可。（2）计算的导函数，计算，构造函数，计算最值，得到k的范围，即可。【详解】(1)时，恒成立，设，令，解得时，函数单调递增；时，函数单调递减，(2)，函数，是函数的两个极值点，是方程的两个实数根，联立解得：，设，在上单调递减，时取等号实数k的最大值为【点睛】本道题考查了利用导函数计算原函数的最值问题，关键构造新函数，判定原函数的最值，难度偏难。