数学必修数学必修4 4 2.3.12.3.1 平面向量基本定理 平面向量基本定理 创设情景，揭示课题 【问题1】 研究火箭升空的某一时刻的速度； 【问题2】物理中的力的分解 学生活动 1火箭升空的某一时刻的速度可分解为在竖直向上和水平向 前的分速度. 2 ， 是两个不共线的向量， 是平面内的任一向量，如何 将 分解到 ， 方向上去？ 构建数学 共面向量定理 【探索】 （1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是惟 一的？ （2）对对于平面上两个不共线线向量 , ，是不是平面上的所有 向量都可以用它们来表示？ 如果是 , 同一平面内的两个不共线线向量，那么对对于这这一平面内 的任一向量 ，有且只有一对实数 , ，使 我们 把不共线向量 , 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 这个定理也叫共面向量定理. + 平面向量基本定理： 正交分解：一个平面向量用一组组基底 , 表示成 的形 式，我们称它为向量 的分解，当 , 所在直线互相垂直时，这种分解也 称为向量 的正交分解 + 【注意】 （1） , 均是非零向量，必须须不共线线，则则它是这这一平面内所有向量的一 组组基底. （2）基底不惟一，当基底给给定时时，分解形式惟一； , 是被 , , 惟 一确定的实数 （3）由定理可将任一向量 在给给出基底 , 的条件下进行分解；同一平 面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合. （4） 时时， 与 共线线； 时时， 与 共线线； 时时， 【思考】：平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表 述形式上有什么区别和联系 ? 【例题讲解】 例1 平行四边边形的ABCD对对角线线AC和BD交于点M， ， ， 试试用向量 ， 表示 ， ， ， , 思考：解决这类问题这类问题 的关键键是什么? 例2 如图图，质质量为为 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的 夹夹角为为 ，求斜面对对物体的磨擦力 f -f W P 例3 已知向量 ，求作向量-2.5 +3 例5如图图 ， 不共线线， , 用 ， 表示 O B A P 变变式1：如图图： ， 不共线线，点在 上,求证证:存在实实数 使 变变式2：设设 , 不共线线， 点在 , , 所在的平面内，且 .求证证： , , 三点共线线. 回顾小结 1平面向量基本定理内容 2对定理的理解 平面向量基本定理的应用