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1、(据荆州资料第58页第2题改编)在梯形ABCD中,ADBC,BAAC,B = 450,AD = 2,BC = 6,以BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点A在y轴上。(1) 求过A、D、C三点的抛物线的解析式。(2) 求ADC的外接圆的圆心M的坐标,并求M的半径。(3) E为抛物线对称轴上一点,F为y轴上一点,求当EDECFDFC最小时,EF的长。(4) 设Q为射线CB上任意一点,点P为对称轴左侧抛物线上任意一点,问是否存在这样的点P、Q,使得以P、Q、C为顶点的与ADC相似?若存在,直接写出点P、Q的坐标,若不存在,则说明理由。2、如图,是圆的直径,为圆心,、是半圆的弦,且. 延长交圆的切线于点(1) 判断直线是否为的切线,并说明理由;(2) 如果,求的长。(3)将线段以直线为对称轴作对称线段,点正好在圆上,如图2,求证:四边形为菱形3、已知点A(-1,-1)在抛物线(其中x是自变量)上.(1)求抛物线的对称轴;(2)若B点与A点关于抛物线的对称轴对称,问是否存在与抛物线只交于一点B的直线?如果存在,求符合条件的直线解析式;如果不存在,说明理由.4、如图,一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B,P为AB上一点且PC为AOB的中位线,PC的延长线交反比例函数的图象于Q,(1)求A点和B点的坐标(2)求k的值和Q点的坐标5、如图,将腰长为的等腰RtABC(=90)放在平面直角坐标系中的第二象限, 使点C的坐标为(,0),点A在y轴上,点B在抛物线上(1)写出点A,B的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90,到达的位置请判断点、是否在该抛物线上,并说明理由6、已知如图,矩形OABC的长OA=,宽OC=1,将AOC沿AC翻折得APC。(1)求点P的坐标;(2)若P,A两点在抛物线y=-x2+bx+c上,求b,c的值,并说明点C在此抛物线上;(3)(2)中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D,与x轴相交于另外一点E,若点M是x轴上的点,N是y轴上的点,以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形,试求点M、N的坐标7、如图,O1、O2相交于P、Q两点,其中O1的半径r1=2,O2的半径r2=过点Q作CDPQ,分别交O1和O2于点CD,连接CP、DP,过点Q任作一直线AB交O1和O2于点AB,连接AP、BP、ACDB,且AC与DB的延长线交于点E(1)求证:;(2)若PQ=2,试求E度数8、如图,抛物线y=x22x+c的顶点A在直线l:y=x5上(1)求抛物线顶点A的坐标;(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点CD(C点在D点的左侧),试判断ABD的形状;(3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、ABD为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由9、 如图13,四边形ABCD是梯形,PC是抛物线的对称轴,且.(1)求抛物线的函数表达式;(2)求点D的坐标;(3)求直线AD的函数表达式; (4)PD与AD垂直吗?10、如图,抛物线y=x2+bx2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(一1,0)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;判断ABC的形状,证明你的结论;点M(m,0)是x轴上的一个动点,当CM+DM的值最小时,求m的值11、如图1,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(-3,0),B(-1,0),与y轴相交于点C,O1为ABC的外接圆,交抛物线于另一点D(1)求抛物线的解析式;(2)求cosCAB的值和O1的半径;(3)如图2,抛物线的顶点为P,连接BP,CP,BD,M为弦BD中点,若点N在坐标平面内,满足BMNBPC,请直接写出所有符合条件的点N的坐标12、如图,是边长为6的等边三角形, 是边上一动点,由向运动(与、不重合),是延长线上一动点,与点同时以相同的速度由向延长线方向运动(不与重合),过作于,连接交于. (1)当时,求的长; (2)在运动过程中线段的长是否发生变化?如果不变,求出线段的长;如果发生改变,请说明理由13、已知:如图,为平面直角坐标系的原点,半径为1的B经过点,且与轴分交于点,点的坐标为,的延长线与B的切线交于点(1)求的长和的度数;(2)求过点的反比例函数的表达式 14、古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在算术中就提到了一元二次方程的问题,不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式,只能用图解等方法来求解。在欧几里得的几何原本中,形如(a0,b0)的方程的图解法是:如图,以和b为两直角边做RtABC,再在斜边上截取,则AD的长就是所求方程的解。(1)请用含字母a、b的代数式表示AD的长。(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性,并说说这种解法的遗憾之处。15、已知直线分别交轴、轴于A,B两点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,过点P作轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为秒线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动,它与点P以相同速度同时出发,当点P到达点A时两点同时停止运动(如图)(1)直接写出1秒时C,Q两点的坐标;(2)若以Q,C,A为顶点的三角形与AOB相似,求的值16、在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线:y=x2上的动点(点在第一象限内)连接 OP,过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q连接PQ,交y轴于点M作PA丄x轴于点A,QB丄x轴于点B设点P的横坐标为m(1)如图1,当m=时,求线段OP的长和tanPOM的值;在y轴上找一点C,使OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,求点C的坐标;(2)如图2,连接AM、BM,分别与OP、OQ相交于点D、E用含m的代数式表示点Q的坐标;求证:四边形ODME是矩形17、如下图(1),由直角三角形边角关系,可将三角形面积公式变形,得 =bcsinA 即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半 如下图(2),在ABC中,CDAB于D,ACD=, DCB= , 由公式,得ACBCsin(+)= ACCDsin+BCCDsin,即 ACBCsin(+)= ACCDsin+BCCDsin 你能利用直角三角形边角关系,消去中的AC、BC、CD吗?不能,说明理由;能,写出解决过程参考答案一、综合题1、解:(1)由题意知C(3, 0)、A(0, 3)。过D作x轴垂线,由矩形性质得D(2, 3)。由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为(1,0)。设抛物线的解析式为y=a(x1)(x3).将(0, 3)代入得a = 1,所以y=x22x3.(2)由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点。由等腰直角三角形性质得OM平分AOC,即yOM = x, M(1,1)。连MC得MC = ,即半径为。(3)由对称性可知:当EDECFDFC最小时,E为对称轴与AC交点,F为BD与Y轴交点,易求F(0,9/5)、E(1,2)EF = 。(4)可得ADC中,AD = 2,AC = ,DC = 。假设存在,显然QCP900,QCP = 450或QCP = ACD 。当QCP = 450时,这时直线CP的解析式为y = x3 或y = x3.当直线CP的解析式为y = x3时,可求得P(2,5),这时PC = 5.设CQ = x,则, x = 10/3或x = 15.Q (1/3,0)或(12,0)。当y = x3即P与A重合时,可求得CQ = 2或9, Q (1,0)或(6,0)。当QCP = ACD时,设CP交y轴于H,连ED知EDAC, DE = ,EC = 2,易证:CDECHQ,所以HQ/ = 3/ 2, HQ = 3/2 。可求 HC的解析式为y = 1/2 x3/2.联解,得P(3/2,9/4),PC = 。设CQ = x,知, x = 15/4或x = 27/4 , Q(3/4,0)或(15/4,0)。同理当H在y轴正半轴上时,HC的解析式为y = -1/2 x+3/2. P(1/2,7/4),PC = 。 , CQ = 35/12或21/4, 所以Q(1/12,0)或(9/4,0)。综上所述,P1(2,5)、Q1(1/3,0)或(12,0); P2(0,3)、 Q2(1,0) 或(6,0); P3(3/2,9/4)、Q3(3/4,0)或(15/4,0); P4(1/2,7/4)、Q4(1/12,0)或(9/4,0).2、解:(1)直线为O的切线 1分证明:连结OD 是圆的直径 ADB=90 2分ADO+BDO=90 又DO=BO BDO=PBD BDO=PDAADO+PDA=90 即PDOD点D在O上, 直线为O的切线.(2)解: BE是O的切线 EBA=90 P=30为O的切线 PDO=90在RTPDO中,P=30 解得OD=1 PA=PO-AO=2-1=1(3)(方法一)证明:依题意得:ADF=PDA PAD=DAF ADF=ABFADF=PDA=PBD=ABF 10分是圆的直径 ADB=90 设PBD=,则DAF=PAD=,DBF=四边形AFBD内接于O DAF+DBF=180即 解得 ADF=PDA=PBD=ABF=30 BE、ED是O的切线 DE=BE EBA=90DBE=60BDE是等边三角形。BD=DE=BE 又FDB=ADBADF =90-30=60 DBF=60 BDF是等边三角形。 BD=DF=BFDE=BE=DF=BF 四边形为菱形(方法二)证明:依题意得:ADF=PDA APD=AFD ADF=ABF PAD=DAFADF=AFD=BPD=ABF AD=AF BF/PD DFPB BE为切线 BEPB DF/BE四边形为平行四边形 PE 、BE为切线 BE=DE 四边形为菱形3、解:(1)已知点A(-1,-1)在已知抛物线上则, 即 解得 ,
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