高考总复习.理科.数学 第一章 集合与常用逻辑用语 第一单元 集 合 第二节 集合的运算 高考总复习.理科.数学 课前自主学案 高考总复习.理科.数学 知识梳理 1 交集与并集 （1）交集 定义:由属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为 _的交集,记作_(读作“A 交B”). 即_. 性质:AA= _ ,A = _ ,AB= _ . （2）并集 定义:由_组成的集合,称 为_的并集,记作_(读作“A并 B”).即AB=x|xA或xB. 性质:AA=_,A =_, AB=_. 集合A与集合BAB AB=x|xA且xB ABA 所有属于集合A或集合B的元素 集合A与集合BAB A A BA 高考总复习.理科.数学 2 全集与补集 （1）全集:如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素, 那么就称这个集合为_，通常记作_. （2）补集:对于一个集合A,_ _称为集合A相对于全集U的_. 记作: UA=x|xU且x A. 补集 全集U 由全集U中不属于集合A的所有 元素组成的集合 高考总复习.理科.数学 基础自测 1.（2009年全国卷）设集合A=4，5，7，9，B=3 ，4，7，8，9，全集U=AB，则集合 U(AB)中的 元素共有 （ ） A .3个 B .4个 C .5个 D .6个 解析：AB=3,4,5,7,8,9，AB=4,7,9 U(AB)=3,5,8故选A.也可用摩根律 U(AB) =( UA)( UB). 答案： A 高考总复习.理科.数学 2.（2009年浙江卷）设U= R ，A=x|x0，B=x|x1，则A UB= （ ） A x|0x1 B x|0x1 C x|x1 解析：对于 UB=x|x1，因此A UB=x|0x1 答案： B 高考总复习.理科.数学 课堂互动探究 高考总复习.理科.数学 集合的基本运算 (2008年广州一模)已知全集 U=R，集合 A = x | 2x2，B=x|x22x0，则AB= （ ） A (0,2) B (0,2 C 0,2) D 0,2 解析： 由x22x0，解得0x2，B=x|0x2， AB=x|0x2=0,2)，故选 C . 答案： C 点评：本题考查求解不等式以及交集的运算，一般是先对 各集合进行化简，再求它们的交集. 高考总复习.理科.数学 变式探究 1.（2009年重庆卷）若A=xR| |x|1， 则AB=_ 解析：因为A=x|3x0,所以AB=(0,3). 答案：（0，3） 高考总复习.理科.数学 Venn图与集合之间的逻辑关系 分析：由于涉及的集合运算较多，可借助Venn图使解题思路 更简洁、明了.解析： 由Venn图可知:A=2,3,B=2,4. 点评：Venn图直观、形象地反映了元素与集合之间的关系. 在解题中将隐性的关系显性化，利用韦恩图易于找到元素与 元素，元素与集合，集合与集合之间的联系. 设U=1,2,3,4,5,AB=2,( UA)B=4,( UA) ( UB)=1,5,求集合A和集合B. 高考总复习.理科.数学 变式探究 2.（2009年广东卷）已知全集U=R，集合 M=x|-2x-12和N=x|x=2k-1,k=1,2,的关 系的韦恩（Venn）图如右图所示，则阴影部 分所示的集合的元素共有 （ ） A.3个 B.2个 C.1个 D. 无穷多个 解析：由M=x|-2x-12得1x3，则MN=1,3，有2个， 选 B . 答案： B 高考总复习.理科.数学 集合中元素的性质和集合语言的理解 已知:A=x|x2+4x=0, B=x|x2+2(a+1)x+a21=0. (1)AB=B,求a的取值范围; (2)AB=B,求a的取值范围. 解析： 由已知可得:A=-4,0. (1)AB=B,B A.若4B,则有a28a+7=0, a=1或a=7. 当a=1时，A=B；当a=7时,B=12,4,B A. 若0B,则有a21=0，a=1. 当a=1时,A=B;当a=1时,B=0,B A; 若B= ,则 =4(a+1)24(a21)0,a1, 综上可知,若AB=B,则a=1或a1. 高考总复习.理科.数学 (2)AB=B,A B.A=-4,0,即B必含两个元素,A=B， 即4,0是方程x 2+2(a+1)x+a21=0的两根. 由韦达定理，得 4=2(a+1) a21=0 , a=1. 点评：当对集合的某种表达式不易入手时,可将其转化为 另一种形式，如将“AB=B,AB=B”分别转化为“B A及A B” 等. 高考总复习.理科.数学 变式探究 3.（2009年天津卷）设全集U=AB=xN*|lg x1，若A UB=m | m=2n+1,n=0,1,2,3,4，则集合B=_. 解析： U=AB=1,2,3,4,5,6,7,8,9， A UB= 1,3,5,7,9， B=2,4,6,8. 答案： 2，4，6，8 高考总复习.理科.数学 集合语言与其它数学语言的互译 解析： （1）由图象可知b的取值范围是1，+)； (2009年济南模拟）设集合 A = (x，y) | y |x2|, B=(x，y)|y|x|+b，AB （1）b的取值范围是 _ ； （2）若(x，y)AB，且x+2y的最大值为9，则b的值是 _ 高考总复习.理科.数学 （2）若(x,y)AB,令t=x+2y，则在（0，b）处取得最 大值，所以0+2b=9，所以b= . 答案：（1）1，+) （2） 点评：将集合语言转化为数学语言是解题的关键，本题 实质上是线性规划问题. 高考总复习.理科.数学 变式探究 解析：U=1,2,3,4,5,6,7,8，则A=1,3,5,7,B=3,6, 所以AB=1,3,5,，所以 U(AB)=2,4,8. 答案：2,4,8 4. （2009年重庆卷）若U=n | n是小于9的正整数，A=n U | n是奇数，B= n U | n是3的倍数，则 U(AB)= _ 高考总复习.理科.数学 温馨提示 高考总复习.理科.数学 1.对于交集“AB”，不能仅认为AB中的任一元素都是A与B 的公共元素，同时还有A与B的公共元素都属于AB的涵义，这 就是文字定义中“所有”二字所包含的内容，还需要注意的是并 不是任何两个集合总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时 ，不能说A与B没有交集，而是AB= . 2.正确理解并集“AB”定义中的“或”的涵义 定义中的“或”字连接的并列成分之间不一定是互相排斥的， “xA或xB”包含三种情况：x可能属于A但不属于B（这里的“ 但”等价于“且”）；x也可能不属于A但属于B；x还可能既属于A 又属于B（即xAB）. 对于AB不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成 的集合，因为A与B可能有公共元素，所以上述认识违反了集合 中元素的互异性. 高考总复习.理科.数学 3.全集是相对于研究的问题而言的一个相对概念，但它必须涵 盖与所研究问题有关的各个集合的全部元素，因此全集因研究 问题而异.例如，在研究数集时，常常将实数集R看作全集；在 平面几何中，整个平面可看作是一个全集. 4.补集可看作是集合的一种“运算”，它具有以下性质： (1) UU= ； (2) U =U； (3) U( UA)=A； (4) A( UA)=U； (5) A( UA)= . 高考总复习.理科.数学 5.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某 类图形），然后确定处理此类问题的方法. 6.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再 进行运算. 7.解题时要注意空集的情形，防止因漏掉空集而导致解题的失 误. 8.集合中如果含有参数，一般根据集合元素的互异性来处理， 同时要注意对参数进行分类讨论，并对结果加以检验. 9.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的 融会贯通.解决问题时常用到数形结合（如集合的某些运算可以 用Venn图和数轴（辅助解决）、分类讨论等数学思想. 高考总复习.理科.数学 题型展示台 高考总复习.理科.数学 答案：(, )0,+) (2009年青岛模拟）对于集合M，N，定义M- N=x|xM,且x N,M N=(MN)(NM),设A=t|t=x2 3x,xR,B=x|y=lg(x)，则A B= _ . 高考总复习.理科.数学 设集合S=A0，A1，A2，A3，在S上定义运算为 ：A i A j =A k,其中k为i+j被4除的余数，i、j=0,1,2,3.满足关 系式（x x） A2=A0的x(xS)的个数为 （ ） A.4 B.3 C.2 D.1 解析： 由定义A1 A1=A2，A2 A2=A0，x=A1能满足关 系式，同理x=A3满足关系式，故选 C . 答案： C 高考总复习.理科.数学 题型训练 1.(2009年湖北卷)已知P= a| a=(1,0)+m(0,1),mR, Q=b | b=(1,1)+n(-1,1),nR是两个向量集合，PQ= （ ） A.(1，1) B.(-1，1) C.(1，0) D.(0，1) 解析：因为a=(1,m)，b=(1-n,1+n)代入选项可得PQ= 1,1故选 A . 答案： A 高考总复习.理科.数学 2.(2009年广东卷)已知全集U=R，则正确表示集合M= 1,0,1和N=x|x2+x=0关系的韦恩（Venn）图是 （ ） 解析：由N=x|x2+x=0，得N=1,0，则N M,选B . 答案： B 高考总复习.理科.数学 祝您