5.3 单元载荷移置 1) 什么是单元载荷？ 分布在单元内部区域或边界上的载荷、作用在单元的非节点 位置上的集中力称为单元载荷。 2) 为什么单元载荷需要移置？ 有限元模型中单元通过节点连接形成离散结构；通过节点 传递位移和力。单元和整体结构的特性主要是节点力学量 之间的关系。因此边界条件必须对节点给出，所有载荷必 须等效作用在节点上，这也是连续模型离散化的要求。 3)载荷移置的原则：虚功等效 原单元载荷与等效节点载荷在单元虚位移上的虚功相等。 5.3.1 概述 载荷移置是以单元为单位进行的。 首先将作用于各单元上的体力、面力及未直接作用在节 点上的集中力移置到单元的节点上，成为作用于节点上 的集中力，从而得到单元节点载荷的列向量(矩阵)Re； 然后将相关单元移置到同一节点的载荷进行叠加，就可 以得到单元集合体的节点载荷列矩阵。 5.3.2 载荷移置的方法 5.3.3 载荷移置的原则虚功等效 对于变形体，虚功等效是指原载荷与节点载荷在任何虚位移上 的虚功都应相等。 虚功等效包含了刚体体系的静力等效，当虚位移是刚体位移时， 虚功等效即为静力等效，所以静力等效是虚功等效的特例。 在按虚功等效原则移置单元载荷时，假设单元的虚位移与单元 的实际位移具有同样的位移模式，因此，当位移模式确定之后，载 荷移置的结果是唯一的。 作用在单元上的载荷一般有三种： （1）集中力 （2）体 力 （3）面 力 在作单元划分时，通常将集中力的作用点设 置为单元的节点，所以说一般情况下没有集中力 移置的问题。 但为了便于面力、体力移置公式的推导，下 面还是从集中力移置开始阐述。 5.3.4 载荷的种类 设单元内坐标为xb、 yb的任一点b处受一集中 力P作用，其分量为Px、 Py，即P=Px,PyT。 将其移置到各个节 点上，单元的等效节点 载荷列向量为Rpe。 5.3.5 集中力的等效移置 （1）虚位移 设单元发生了虚位移，如图所示。单元上各节点的虚位移为： 单元内任一点 b(xb，yb)处的虚位 移为： （2）虚功方程 根据虚功原理，有： 由于虚位移与实际位移有同样的位移模式，即： 节点上的节点等效载荷 设单元的ij边上受到 分布集度为q的表面 力作用。其分量为qx 、qy，则面力的列阵 为： q=qx qyT 单元厚度为t，在ij边 上取微元tds，则该 微元上所受的表面力 可表示为qtds。 5.3.6 表面力的等效移置 当上述微元tds取得足够小时，可将其上所受的面 力作为集中力看待，则根据集中力等效移置公式可 得该微元上面力等效移置后的节点载荷为： 通过积分可以得到ij边上面力移置后的等效节点载 荷Rqe为 上式便是表面力移置的普遍式。 设ij边长为l，边上任一 点A距节点i的距离为s ，则由面积坐标的定义 ，此A点处三个形函数 如下： 将A点形函数代入表面力等效移置的普遍式中 ，可以得到： 若其它边上也受面力作用，也可导出相应的移置公式。 由上式可以看出，作用在单元某一边界上的载荷，只需 移置到该边界上的节点处，对不在此边上的节点则不作 移置。 讨论（1）表面力线性分布 可见，简单三角形边界上线性分布面力的等效移置是将该面 力合力的2/3移置到该边界上集度最大的节点处，另1/3则移 置到该边界上集度为零的节点处。 讨论（2）表面力为常量 由上式可以看出，当表面力为常量时，该边界上的 节点均匀分担此表面力。 特例均布正压力 如气体压力、液体压力 单元体积内连续分布有体积力作用，设其单位体积力为g，坐标方 向的分量为gx、gy，则体积力列阵为： g=gx gyT 在单元内任取微元体积tdxdy，则该微元上所受的体积力为： gtdxdy。 当上述微元tdxdy取得足够小时，可将其上所受的体积力视作为集中 力，则应用集中力等效移置公式可得到体积力移置后的等效节点载荷 Rge ： 5.3.7 体积力的等效移置 上式便是体积力移置的普遍式。 体力特例自重 设重力方向沿y轴负向， 其单位体积力为(即材料的 体密度比重)，则： 按节点分块形式可将上式展开为如下三式，即 ： 自重按集中力计算 单元的自重力可以认为是一个作用在其重心位移 c处的集中力。 单元的自重w=t，则P=0 -WT 形函数在三角形形心处有 ，故