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a bx y o 1. 曲边梯形的面积 3.2.1 定积分的概念 3.2.1.1 定积分问题举例 3.2 函数的定积分 a bx y o a bx y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近 曲边梯形面积 (四个小矩形)(九个小矩形) (1) 分割 (2) 作近似 把这n个小矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值,即 曲边梯形面积为 (3) 求和 (4) 取极限 2. 变速直线运动的路程 分析:把整段时间分割成若干小段,每小段上 速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便 得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值 (1) 分割 部分路程值某时刻的速度 (3) 求和 (4) 取极限 路程的精确值 (2) 作近似 3.2.1.2 定积分的定义 定义4.1 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 积分和 利用定积分的定义,前面所讨论的两个实际问题可以分别表 述如下: 曲线y =f ( x )( f ( x )x轴及两条直线x = a 、x = b 所 围成的曲边梯形的面积A等于函数f ( x )在 区间 a ,b上的定 积分。即: 物体以变速v = v( t )( v( t)作直线运动,从时刻t = 到时刻t = ,这物体经过的路程s 等于函数v( t )在区间 上的定积分,即: (2) 在定积分的定义中,假设ab,为了计算方 便,补充规定: 关于定积分的定义有如下几点说明: (3)函数f(x)在区间a,b上可积的充分条件是 函数f(x) 在a,b上连续或只有有限个第一类间 断点 。 3.2.2 定积分的几何意义 曲边梯形面积的代数和 3.2.3 定积分的性质 性质1 函数代数和的定积分等于它们各自定积分的代数和 (此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况) 性质2 被积函数的常数因子可提到积分号外,即 在下面的讨论中假设被积函数都可积。 性质3 不论a,b,c的相对位置如何,总有 (定积分对于积分区间具有可加性) 性质4 如果在区间a,b上f(x)= k,则 特别地当k = 1时,有 (此性质可用于估计积分值的大致范围) 性质6 性质5 特别地,在区间 上 则 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 则在积分区间,ba上至少存在一个点 x, 性质7(定积分中值定理) 积分中值公式 在区间,ba上至少存在一个点x, 使 即 积分中值公式的几何解释: 解(1)因为x0,1时, 所以由性质5 (2) 因为 时, ; 时, , 所以由性质5 解 因为 时, , 所以由性质6
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