6.2 等差数列及其前n项和 知识梳理考点自测 1.等差数列 (1)定义:一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的前 一项的 等于 ,那么这个数列就叫做等 差数列,这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d表 示.数学语言表示为 (nN*),d为常数. (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是 , 其中A叫做a,b的 . (3)等差数列的通项公式:an= ,可推广为 an=am+(n-m)d. 第2项 差 同一个常数 公差 an+1-an=d 等差中项 a1+(n-1)d 知识梳理考点自测 2.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 (1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d0时,an是关于n的 一次函数;当d0时,数列为递增数列;当d0”是“S4+S62S5”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 C 解析:因为 所以S4+S62S510a1+21d10a1+20dd0, 即“d0”是“S4+S62S5”的充分必要条件,选C. 3.(2017辽宁抚顺重点校一模,文2)在等差数列an中,a3+a6=11, a5+a8=39,则公差d为( ) A.-14 B.-7C.7D.14 C 解析:a3+a6=11,a5+a8=39,则4d=28,解得d=7.故选C. 知识梳理考点自测 4.已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= . 6 解析:an是等差数列, a3+a5=2a4=0.a4=0. a4-a1=3d=-6.d=-2. S6=6a1+15d=66+15(-2)=6. 18 162 考点一考点二考点三考点四 等差数列中基本量的求解 例1(1)(2017辽宁大连一模,文6)已知数列an满足an+1-an=2,a1=- 5,则|a1|+|a2|+|a6|=( ) A.9B.15C.18 D.30 (2)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等 于( ) A.3B.4C.5D.6 C C 考点一考点二考点三考点四 考点一考点二考点三考点四 考点一考点二考点三考点四 思考求等差数列基本量的一般方法是什么? 解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d, 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. 2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn, 已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想 . 3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数 分别为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数分别为a-3d,a -d,a+d,a+3d. 考点一考点二考点三考点四 对点训练1(1)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=( ) A.100B.99 C.98 D.97 (2)(2017福建厦门一模,文14)已知an是等差数列,其前n项和为 Sn,a1+a3+a5=15,a2+a4+a6=0,则Sn的最大值为 . C 30 考点一考点二考点三考点四 考点一考点二考点三考点四 等差数列的判定与证明 考点一考点二考点三考点四 思考判断或证明一个数列为等差数列的基本方法有哪些? 解题心得1.等差数列的四种判断方法: (1)定义法:an+1-an=d(d是常数)an是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)an是等差数列. (4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列. 2.若证明一个数列不是等差数列,则只需证明存在连续三项不成 等差数列即可. 考点一考点二考点三考点四 对点训练2设数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列bn满足 b1=2,bn+1-2bn=8an. (1)求数列an的通项公式; (2)证明:数列 为等差数列,并求bn的通项公式. 考点一考点二考点三考点四 等差数列性质的应用(多考向) 考向1 等差数列项的性质的应用 例3(1)(2017福建龙岩一模,文3)在等差数列an中,a3,a7是函数 f(x)=x2-4x+3的两个零点,则an的前9项和等于( ) A.-18 B.9C.18 D.36 (2)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若 =-3,S5=10,则a9 的值是 . C 20 解析: (1)等差数列an中,a3,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点, a3+a7=4, (2)由S5=10,得a3=2, 因此2-2d+(2-d)2=-3,即d=3,故a9=2+36=20. 思考如何快捷地求出结果? 考点一考点二考点三考点四 考向2 等差数列前n项和的性质的应用 例4在等差数列an中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前 3m项的和为 . 210 思考本例题应用什么性质求解比较简便? 解题心得在等差数列an中,依据题意应用其前n项和的性质解 题能比较简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列an中,数列 Sm, ,也是等差数列. 考点一考点二考点三考点四 A 5 考点一考点二考点三考点四 考点一考点二考点三考点四 等差数列前n项和的最值问题 例5(2017北京海淀模拟)等差数列an中,设Sn为其前n项和,且 a10,S3=S11,则当n为多少时,Sn最大? 考点一考点二考点三考点四 解得6.5n7.5,故当n=7时,Sn最大. 法四:由S3=S11,可得2a1+13d=0,即(a1+6d)+(a1+7d)=0, 故a7+a8=0, 又由a10,S3=S11可知d0,a80,所以当n=7时,Sn最大. 思考求等差数列前n项和的最值有哪些方法? 考点一考点二考点三考点四 解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法: (1)函数法:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二 次函数,根据二次函数的性质求最值. 考点一考点二考点三考点四 对点训练4等差数列an的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn 的最小值为多少? 考点一考点二考点三考点四 1.等差数列的判断方法 (1)定义法; (2)等差中项法; (3)利用通项公式判断; (4)利用前n项和公式判断. 2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项 为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列 不是等差数列,它从第2项起成等差数列. 3.方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时,可以先考虑把 已知条件都化归为a1和d等基本量的关系,再通过建立方程(组)求解 .