1 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 1 第第3讲、讲、Sommerfeld模型模型基态基态 1. 再论再论Drude模型模型 2. 费米费米狄拉克分布狄拉克分布 3. 比热的定性估计比热的定性估计 4. Sommerfeld模型模型 5. 状态密度状态密度波矢空间波矢空间 6. 状态密度状态密度能量空间能量空间 7. T=0时的性质 量子统计，自由电子气的基态性质 时的性质 量子统计，自由电子气的基态性质 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 2 1、再论、再论Drude模型模型 Wiedemann-Franz定律，成功定律，成功! 金属电子比热，完全失败金属电子比热，完全失败 * 实验测量，电子对比热的贡献在低温下与温度成正 比，在绝对零度时消失 实验测量，电子对比热的贡献在低温下与温度成正 比，在绝对零度时消失 BV nkc 2 3 = 为什么对比热失败？为什么对比热失败？ 对电导率呢？因为弛豫时间是个参数，并不能证明 没有困难。成功的只有 对电导率呢？因为弛豫时间是个参数，并不能证明 没有困难。成功的只有Wiedemann-Franz定律定律 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 3 看：模型如何得到电子气比热？看：模型如何得到电子气比热？ 经典理论经典理论 N个自由电子自由度个自由电子自由度 3N 但室温时，实际但室温时，实际1%1% ? 电子怎么能够参与传导过程， 犹如可以迁移似的，但对热容 却几乎没有贡献？ 电子怎么能够参与传导过程， 犹如可以迁移似的，但对热容 却几乎没有贡献？ Pauli原理、原理、 Fermi分布！分布！ 热容热容3/2 Nk3/2 NkB B热容热容3/2 Nk3/2 NkB B 热容被严重高估！?？加热，温度升高慢，所 有电子都得到能量?热容大? 热容被严重高估！?？加热，温度升高慢，所 有电子都得到能量?热容大?Pauli原理否定 模型假定仍可以！但统计？?经典还是量子？ 原理否定 模型假定仍可以！但统计？?经典还是量子？ http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 4 2、 FermiDirac分布分布 Drude模型用经典统计：在给定的电子气密 度，温度 模型用经典统计：在给定的电子气密 度，温度T，平衡态，平衡态，MaxwellBoltzmann分 布 分 布 TkE B MB B e Tk m nEf / 2/3 2 )( = Sommerfeld模型用模型用FermiDirac分布代替分布代替 MaxwellBoltzmann分布分布 () 1 1 )( BF/ + = TkEE FD e Ef 在温度在温度T下，能量为下，能量为E的状态被占据的几率。式 中 的状态被占据的几率。式 中EF是电子的化学势，是温度的函数。当温度 为零时，电子最高占据状态能量，称为费米能 是电子的化学势，是温度的函数。当温度 为零时，电子最高占据状态能量，称为费米能 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 5 FD分布性质分布性质 基态基态T = 0 K 1 1 )( / )( + = TkEE BF e Ef1)(0Ef 思考：经典极限？思考：经典极限？ 费米能级费米能级EF，T=0时的电子的最 高能级 对应的费米温度 时的电子的最 高能级 对应的费米温度EF=kBTF http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 6 FD与与MB分布比较分布比较 基态，零度时，电子都处于费米能级以下基态，零度时，电子都处于费米能级以下 温度升高时，即对它加热，将发生什么情况？温度升高时，即对它加热，将发生什么情况？ 某些空的能级将被占据，同时，原来被占据的 某些能级空了出来 某些空的能级将被占据，同时，原来被占据的 某些能级空了出来 典型金属，在 室温下的分 布。 典型金属，在 室温下的分 布。MB(黑黑)， FD(红红)， FD(T=0K，绿，绿) 2 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 7 3、比热的定性估计、比热的定性估计(半经典半经典) 分析：电子从零度起被加热，不象经典粒子每 个电子都得到 分析：电子从零度起被加热，不象经典粒子每 个电子都得到kBT的能量，而仅仅的能量，而仅仅Fermi能级附 近的电子被激发 能级附 近的电子被激发 Drude高估了对热容有贡献的电子数高估了对热容有贡献的电子数 估计：有估计：有 kBT /kBTF比例 的电子被激发，这部分 电子数目（即上面近似 三角区域内电子被激发 到下面三角区域） 比例 的电子被激发，这部分 电子数目（即上面近似 三角区域内电子被激发 到下面三角区域） )/()/( FFBB TTNTkTkN= TkBFBF TkE = http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 8 什么是物理？这就是物理！什么是物理？这就是物理！ 与严格的理论相比，只差一个因子与严格的理论相比，只差一个因子 9 . 42/ 2 TkTTNU BF) /( BF) /(kTTNcel V TF104-105K，室温下，比热比经典值小两个量级，室温下，比热比经典值小两个量级 思考：思考：Drude模型中还有什么应该也只考虑应 用费米能级附近的电子起作用？会得到什么结 果？ 模型中还有什么应该也只考虑应 用费米能级附近的电子起作用？会得到什么结 果？ 被激发电子数被激发电子数电子经典能量电子经典能量 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 9 Drude成功的原因？成功的原因？ Drude模型对比热失败！模型对比热失败！ Drude模型对模型对Wiedemann-Franz定律基本正 确！对热传导系数 定律基本正 确！对热传导系数 2 3 1 vcV= 比热的过高估计（两个数量级）正好被速度的 过低估计（同样数量级）所抵消！ 比热的过高估计（两个数量级）正好被速度的 过低估计（同样数量级）所抵消！ 除了碰撞瞬间，不考虑与离子实的作用也是非 常好的近似，因为周期性排列没有散射机制 除了碰撞瞬间，不考虑与离子实的作用也是非 常好的近似，因为周期性排列没有散射机制 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 10 4、 Sommerfeld模型模型(基态性质基态性质) 模为常数，表示电子在各处出现的几率都相同模为常数，表示电子在各处出现的几率都相同 k平面波波矢，方向为平面波传播方向平面波波矢，方向为平面波传播方向 与波长的关系与波长的关系 在在V=L3内的内的N个自由电子。独立电子近似?分 离变量?单电子方程?单电子波函数 个自由电子。独立电子近似?分 离变量?单电子方程?单电子波函数 )()( 2 2 2 rr r E m = hrk k r = i Ce)( 波函数代入方程得到解，即自由电子的能量波函数代入方程得到解，即自由电子的能量 /2=k ( )( 22 222 2 2 2 zyx kkk m k m E+= hh k C= 2 )(r k = i i m2 2 p H http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 11 讨论讨论 自由电子的状态用量子数自由电子的状态用量子数k来描述！来描述！ k是电子动量的本征态是电子动量的本征态kph= 则相应的速度则相应的速度 m k v h = 即自由电子的能量也可写成这个形式即自由电子的能量也可写成这个形式 2 2 1 mvE = 比较电子动能比较电子动能 ( )( 22 222 2 2 2 zyx kkk m k m E+= hh k k如何取值？固体无限时，如何取值？固体无限时，k可取任意值，可取任意值，E(k) 因此是连续的，否则，因此是连续的，否则，k由边界条件定由边界条件定 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 12 L N 周期边界条件周期边界条件 ),(),( ),(),( ),(),( zyxLzyx zyxzLyx zyxzyLx =+ =+ =+ rk k r = i e)( 1= Lik Lik Lik z y x eee L; 6 ; 4 ; 2 ; 0, LLL kkk zyx = 边界条件导致边界条件导致k 取值的量子化， 分立值 取值的量子化， 分立值 思考：无限深势 阱？ 思考：无限深势 阱？ 3 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 13 5、状态密度、状态密度波矢空间波矢空间 每个点都是解，描写电子状态每个点都是解，描写电子状态 每个状态在每个状态在k空间占体积空间占体积 L/2 ()VL/8/2 3 3 = 状态密度：状态密度：k空间单位体积内的状态数空间单位体积内的状态数 3 8 1 V = k 每个每个k值在该空间代表一个点值在该空间代表一个点 L; 4 ; 2 ; 0, LL kkk zyx = http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 14 kF ky kx kz Fermi能级能级 () 3 F 3 3 4 2 2k V N = 半径半径 kF的球内的状态数为的球内的状态数为 基态，电子在基态，电子在k空间都处于半径 为 空间都处于半径 为kF的球内，即占据球内一点。 最高被占据面， 的球内，即占据球内一点。 最高被占据面，Fermi面面 Pauli原理：每个原理：每个 k 态填两个电子，由 低到高依次填充， 形成半径为 态填两个电子，由 低到高依次填充， 形成半径为kF的的 Fermi球球 自旋自旋 m k v F F h = B F F k E T = 速度速度温度温度 m k E 2 2 F 2 F h = http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 15 Fermi能级？能级？ 基态下电子填充的最高能级基态下电子填充的最高能级 Fermi能级：把基态下已被占据的状态和未被 占据的状态分开 能级：把基态下已被占据的状态和未被 占据的状态分开 只有只有Fermi能级附近的电子才容易被激发能级附近的电子才容易被激发 * 电流也是电流也是Fermi能级附近的能态占据状况发生变化 引起的 能级附近的能态占据状况发生变化 引起的 * 如果加外场，也只有如果加外场，也只有Fermi能级附近的状态发生变 化 能级附近的状态发生变 化 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 16 基态总能量基态总能量 (T=0) 单位体积自由电子气体的基态能量：单位体积自由电子气体的基态能量：Feimi球 内所有电子能量之和 球 内所有电子能量之和 = F 2 2 22 0 kk m k E h 自旋自旋 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 17 3 8 1 V k = 为了将求和转换为积分，利用为了将求和转换为积分，利用k空间单 位体积内的状态数，可得 空间单 位体积内的状态数，可得 = FF 28 2 2 2 22 3 22 0 kkkk m k m k VV E k hh = F 28 2 22 3 0 kk d m k V E k h m k E F F 2 22 0 h