第十二章 多元函数的微分学 习习 题题 12. 1 偏导数与全微分偏导数与全微分 1 求下列函数的偏导数： （1）； （2）； 6245 6yyxxz+=)ln( 222 yxxz+= （3） y x xyz+=； （4）； )(cos)sin( 2 xyxyz+= （5）； （6）)sin(coseyxyz x += = y x z 2 tan； （7） x y y x zcossin=； （8）； y xyz)1 ( += （9）； （10）)lnln(yxz+= xy yx z + = 1 arctan； （11）； （12） )( 222 e zyxx u + = z y xu =; （13） 222 1 zyx u + =； （14）； z y xu = （15），为常数； （16）为常数。 1 n ii i ua = =x i a jiij n ji jiij aayxau= = , 1, 解解 (1) 234 245yxx x z = ，yxy y z 45 126= 。 (2) 22 3 22 2 )ln(2 yx x yxx x z + += ， 22 2 2 yx yx y z + = 。 (3) y y x z1 += ， 2 y x x y z = 。 (4) )2sin()cos(xyxyy x z = ， )2sin()cos(xyxyx y z = 。 (5) )sinsin(cosyyxye x z x += ， )sincos(yyxe y z x = 。 (6) = y x y x x z 2 2 sec 2 ， = y x y x y z 2 2 2 2 sec。 (7) x y y x yx z coscos 1 = x y y x x y sinsin 2 +， x y y x y x y z coscos 2 = x y y x x sinsin 1 。 1 (8) 12 )1 ( += y xyy x z ， + += xy xy xyxy y z y 1 )1ln()1 (。 (9) yxx z ln 1 + = ， )ln( 1 yxyy z + = 。 (10) 注意，arctanarctanzxy=+ 2 1 1 xx z + = ， 2 1 1 yy z + = 。 (11) )3( 222 zyx x u += )( 222 zyxx e + ，= y u xy2 )( 222 zyxx e + ， = z u xz2 )( 222 zyxx e + 。 (12) 1 = z y x z y x u ， = y u z y x z xln ，= z u z y x z xy 2 ln 。 (13) ()2 3 222 zyx x x u + = ，= y u ()2 3 222 zyx y + ，= z u ()2 3 222 zyx z + 。 (14) 1 = z yzx y x u ， = y u xxzy z yz ln 1 ，= z u yxxy z yz lnln。 (15) nia x u i i , 2 , 1,?= 。 (16) niya x u n j jij i , 2 , 1, 1 ?= = ， njxa y u n i iij j , 2 , 1, 1 ?= = 。 2. 设 22 ),(yxyxyxf+=，求及。 )4 , 3( x f)4 , 3( y f 解解 因为 2222 1,1 xy xy ff xyx = = + y ，所以 5 2 )4 , 3(= x f， 5 1 )4 , 3(= y f。 3. 设 2 e y x z =，验证02= + y z y x z x。 证证 由于 22 23 1 e,e xx yy zz xyyy = 2x ，所以 02= + y z y x z x。 2 4. 曲线 = + = 4 , 4 22 y yx z 在点处的切线与 轴的正向所夹的角度是 多少？ )5 , 4 , 2(x 解解 以 x 为参数，曲线在点处的切向量为)5 , 4 , 2( 2 (,)(1,0,1 x dx dy dz dx dx dx = =)， 设它与 轴的正向所夹的角度为x，则 (1,0,1)1 cos(1,0,0) 22 =， 所以 4 =。 5. 求下列函数在指定点的全微分： （1），在点； 22 3),(xyyxyxf=)2 , 1 ( （2），在点； )1ln(),( 22 yxyxf+=)4 , 2( （3） 2 sin ),( y x yxf=，在点和) 1 , 0( 2 , 4 。 解解 (1) 因为，所以 22 ( , )(6)(32)df x yxyydxxxy dy=+ dydxdf= 8)2 , 1 (。 (2) 因为 2222 22 ( , ) 11 xy df x ydxdy xyxy =+ + ，所以 dydxdf 21 8 21 4 )4 , 2(+=。 (3) 因为 23 cos2sin ( , ) xx df x ydxdy yy =，所以 dxdf=) 1 , 0(, dydxdf 8 2 8 2 )2 , 4 (= 。 6. 求下列函数的全微分： （1）； （2）； x yz = xy xyze= （3） yx yx z + =； （4） 22 yx y z + =； （5） 222 zyxu+=； （6）。 )ln( 222 zyxu+= 解解 (1) 。 dyxyydxydz xx1 ln += (2) 。 )(1 (xdyydxxyedz xy += 3 (3) dy yx x dx yx y dz 22 )( 2 )( 2 + = 。 (4) dx yx xy dz 2 3 22 )(+ =dy yx x 2 3 22 2 )(+ + 。 (5) 222 zyx zdzydyxdx du + + = 。 (6) 222 )(2 zyx zdzydyxdx du + + =。 7. 求函数在点处的沿从点到点方向的方 向导数。 y xz 2 e=)0 , 1 (P)0 , 1 (P) 1, 2(Q 解解 由于 12 (2, 1)(1,0)1 (1, 1)( ,) |(2, 1)(1,0)|2 PQ v v PQ = ? ? v，且 22 e ,2 e yy zz x xy = ， 所以 12 1 2 zzz vv xy =+= v 。 8. 设，求它在点处的沿方向 22 yxyxz+=) 1 , 1 ()sin,(cos=v的方向 导数，并指出： （1）沿哪个方向的方向导数最大？ （2）沿哪个方向的方向导数最小？ （3）沿哪个方向的方向导数为零？ 解解 由于 cossin(2)cos(2)sin zzz xyyx xy =+=+ v ， 所以 (1,1) cossin z =+ v sin()sin2sincos() 244 =+=, (1) 当 4 =时，沿) 4 sin, 4 (cos=v v，方向导数最大。 4 (2) 当 5 4 =时，沿) 4 5 sin, 5 4 (cos=v v，方向导数最小。 (3) 当 37 , 44 =时，沿) 4 3 sin, 3 4 (cos=v v 或 ) 4 7 sin, 7 4 (cos=v v，方向 导数为零。 9 如果可微函数在点处的从点到点方向的方向 导数为 2，从点到点方向的方向导数为-2。求 ),(yxf)2 , 1 ()2 , 1 ()2 , 2( )2 , 1 () 1 , 1 ( （1）这个函数在点处的梯度； )2 , 1 ( （2）点处的从点到点方向的方向导数。 )2 , 1 ()2 , 1 ()6 , 4( 解解 ， 1 v =(2,2)(1,2)(1,0)= 1 10 zzzz xyx 2 = += v 。 2 v =(1,1)(1,2)(0, 1)=， 2 0( 1) zzzz xyy 2 = + = = v 。 所以在处， )2 , 1 ( 2 zz xy = 。 (1) 。 )2 , 2()2 , 1 (grad=f (2) 因为(4，,6)(1,2)(3,4)= 22 (3,4)(3,4) 5 34 = + v，所以 (1,2) 341 22 55 f 4 5 =+= v v 。 10. 求下列函数的梯度： （1）； （2）)sin( 22 xyyxz+= += 2 2 2 2 1 b y a x z； （3），在点。 zyxyzxyzyxu5264332 222 +=) 1 , 1 , 1 ( 解解 (1) 。 ) )cos()sin(2),cos(2(grad 23 xyxyxyyxyyxz+= (2) ) 2 , 2 (grad 22 b y a x z=。 (3) ，。 grad (236,4342,645uxyyxzzy=+ )5 , 9 ,11() 1 , 1 , 1 (grad=u 11. 对于函数，在第象限（包括边界）的每一点，指出 函数值增加最快的方向。 xyyxf=),( 5 解解 在点, 函数值增长最快的方向为)0 , 0(),(yx),(gradxyf =; 在点, 由于梯度为零向量，不能直接从梯度得出函数值增长 最快的方向。设沿方向 )0 , 0( )sin,(cos=v自变量的改变量为 cos ,sinxtyt = =， 则函数值的改变量为 22 1 (,)(0,0)cossinsin2 2 fxyfx ytt= =， 由此可知当 3 , 44 =时函数值增长最快，即函数值增长最快的方向为 和。 ) 1 , 1 () 1, 1( 12 验证函数 3 ),(xyyxf= 在原点连续且可偏导，但除方向和)0 , 0( i e i e（）外，在 原点的沿其它方向的方向导数都不存在。 2 , 1=i 解解 3 ( , )(0,0)( , )(0,0) lim( , )lim0(0,0) x yx y f x yxyf =， 3 0 00 (0,0)lim0 x x x f x = ， 3 0 00 (0,0)lim0 y y y f y = ， 所以函数在原点连续且可偏导。取方向)0 , 0()sin,(cos=v，则 0 (0cos,0sin)(0,0) lim t ffttf t + + = v 3 0 cossin lim t tt t + = 3 3 0 sin2 lim 2 t t + =， 当sin20=， 即 2 k =时