华中科技大学华中科技大学 机械工程控制基础机械工程控制基础 吴波、熊良才、陈良才吴波、熊良才、陈良才 第四章第四章 频率特性分析频率特性分析 时域分析时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃或脉冲重点研究过渡过程，通过阶跃或脉冲 输入下系统的瞬态时间响应来研究系输入下系统的瞬态时间响应来研究系 统的性能。统的性能。 频域分析频域分析：通过系统在不同频率通过系统在不同频率 的谐波（正弦）的谐波（正弦） 输入作用下的稳态响应来研究系统的输入作用下的稳态响应来研究系统的 性能。性能。 一、频率特性概述一、频率特性概述 （1 1）频率响应：系统对谐波输入的稳态响应）频率响应：系统对谐波输入的稳态响应 1.1.频率响应与频率特性频率响应与频率特性 例例 设系统的传递函数为设系统的传递函数为 若输入信号为若输入信号为 x x i i (t (t)=)=X X i i sinsin t t 即即 则则 稳态输出（响应）稳态输出（响应） 与输入同频率与输入同频率 与输入信号的与输入信号的 幅值成正比幅值成正比 输入输入: : x x i i (t (t)=)=X X i i sinsin t t 稳态输出（稳态输出（频率响应频率响应）: : x x o o (t)= X(t)= X i i A( A( ) sin) sin t+ t+ ( ( ) ) 同频率同频率 幅值比幅值比 A(A( ) ) 相位差相位差 ( ( ) ) 的的非线性非线性函数函数 ( (揭示了系统的频率响应特性揭示了系统的频率响应特性) ) （2 2）频率特性：对系统频率响应特性的描述）频率特性：对系统频率响应特性的描述 幅频特性幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比，稳态输出与输入谐波的幅值比， 即即 相频特性相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差稳态输出与输入谐波的相位差 ( ( ) ) 频率特性频率特性 频率特性是频率特性是 的复变函数，其幅值为的复变函数，其幅值为A(A( ) )，相位为相位为 ( ( ) )。 记为记为: A(: A( ) )( ( ) ) 或或 A(A( )e)ej j ( ( ) ) 2.2.频率特性与传递函数的关系频率特性与传递函数的关系 设系统的传递函数为设系统的传递函数为: : 输入信号为输入信号为 x x i i (t (t)=)=X X i i sinsin t t 即即 则则 若无重极点若无重极点, , 则有则有 故故若系统稳定若系统稳定, , 则有则有 其中其中同理同理 所以所以 即即故故G G( (j j )=)= G(jG(j ) ) e e j j G G( (j j ) ) 就是系统的频率特性就是系统的频率特性 3.3.频率特性的求法频率特性的求法 (1)(1)频率响应频率响应频率特性频率特性 稳态输出（频率响应）稳态输出（频率响应） 如前例如前例 系统的传递函数系统的传递函数 所以所以 所以系统的频率特性为所以系统的频率特性为 或或 (2)(2)传递函数传递函数频率特性频率特性 如上例如上例即即 频率响应频率响应 (3)(3)实验方法实验方法 4.4.频率特性的表示法频率特性的表示法 (1)(1)解析表示解析表示 (2)(2)图示方法图示方法 幅频幅频相频相频 幅频特性幅频特性 相频特性相频特性 实频实频虚频虚频 实频特性实频特性虚频特性虚频特性 NyquistNyquist 图（图（极坐标图，幅相频率特性图）极坐标图，幅相频率特性图） Bode Bode 图（图（对数坐标图，对数频率特性图）对数坐标图，对数频率特性图） 5.5.频率特性的特点频率特性的特点 (1) (1) 频率特性是频域中描述频率特性是频域中描述 系统动态特性的数学模型系统动态特性的数学模型 由由 X X o o (s)=(s)=G(s)XG(s)X i i (s (s) ) 有有 X X o o (j (j )=)=G(jG(j )X)X i i (j (j ) ) 而当而当 x x i i (t (t)=)= (t) (t) 时时， x x o o (t)=(t)=(t)(t), , 且且 X X i i (j (j )=F)=F (t)=1 (t)=1 故故 X X o o (j (j )=G(j )=G(j ) ) 即即 FF(t)=G(j (t)=G(j ) ) (3)(3)分析简便分析简便 (4)(4)易于实验求取易于实验求取 (2)(2)频率特性是系统单位脉冲响频率特性是系统单位脉冲响 应函数应函数 (t)(t)的的FourierFourier变换变换 二、频率特性的极坐标图二、频率特性的极坐标图( (NyquistNyquist图图) ) G(jG(j ) )： 的复变函数的复变函数 给定给定 ，G(jG(j ) )是复平面上的一矢量是复平面上的一矢量 幅值：幅值： A(A( )=)= G(jG(j ) ) 相角相角( (与正实轴的夹角，与正实轴的夹角，逆时针为正）逆时针为正）： ( ( )=)=G(jG(j ) ) 实部实部: : U(U( )=)=A(A( )cos)cos ( ( ) ) 虚部：虚部：V(V( )=A()=A( )sin)sin ( ( ) ) 从从 0 0 时时， G(jG(j ) )端点的轨迹：频率特性的极坐标图端点的轨迹：频率特性的极坐标图 （NyquistNyquist图）图） 1.1.典型环节的典型环节的NyquistNyquist图图 (1)(1)比例环节比例环节 传递函数：传递函数：G(s)=KG(s)=K 频率特性：频率特性：G(jG(j )=K)=K 幅频：幅频： G(jG(j ) ) 相频：相频：G(jG(j )=0)=0 o o 实频：实频： U(U( )=K)=K 虚频：虚频：V(V( )=0)=0 实轴上的一定点，其坐标为实轴上的一定点，其坐标为( (K, j0K, j0) ) 1.1.典型环节的典型环节的NyquistNyquist图图 (2)(2)积分环节积分环节 传递函数：传递函数：G(s)=1/s G(s)=1/s 频率特性：频率特性：G(jG(j )=1/j)=1/j 幅频：幅频： G(jG(j ) ) 1/1/ 相频：相频：G(jG(j )=)=9090 o o 实频：实频： U(U( )=0)=0 虚频：虚频：V(V( )= )= 1/1/ 虚轴的下半轴，由无穷远点指向原点虚轴的下半轴，由无穷远点指向原点 1.1.典型环节的典型环节的NyquistNyquist图图 (3)(3)微分环节微分环节 传递函数：传递函数：G(s)=s G(s)=s 频率特性：频率特性：G(jG(j )=j)=j 幅频：幅频： G(jG(j ) ) 相频：相频：G(jG(j )=90)=90 o o 实频：实频： U(U( )=0)=0 虚频：虚频：V(V( )= )= 虚轴的上半轴，由原点指向无穷远点虚轴的上半轴，由原点指向无穷远点 1.1.典型环节的典型环节的NyquistNyquist图图 (4)(4)惯性环节惯性环节 当当 0 0 时，时， G(jG(j ) ) = =K K， ，G(jG(j )=0)=0 o o 当当 =1/T =1/T 时，时，G(jG(j )=-45)=-45 o o 当当 时，时， G(jG(j ) ) =0=0，G(jG(j )=-90)=-90 o o 传递函数：传递函数： 频率特性：频率特性： 幅频：幅频： 相频：相频： G(jG(j )=)=arctgTarctgT 实频：实频： 虚频：虚频： 当当从从0 0时，其时，其NyquistNyquist图为正实轴图为正实轴 下的一个半圆，圆心为下的一个半圆，圆心为( (K/2, j0K/2, j0) )，半半 径为径为K/2K/2。 1.1.典型环节的典型环节的NyquistNyquist图图 (5)(5)一阶微分环节一阶微分环节 传递函数：传递函数：G(s)=1+Ts G(s)=1+Ts 始于点始于点(1, j0)(1, j0)，平行于虚轴平行于虚轴 频率特性：频率特性：G(jG(j )=1+jT)=1+jT 幅频：幅频： 相频：相频：G(jG(j )=)=arctgTarctgT 实频：实频： U(U( )=1)=1 虚频：虚频：V(V( )= T)= T 1.1.典型环节的典型环节的NyquistNyquist图图 (6)(6)振荡环节振荡环节 传递函数：传递函数： 频率特性：频率特性： 幅频：幅频： 相频：相频： 实频：实频： 虚频：虚频： 当当 =0=0， 即即 0 0 时，时， G(jG(j ) ) =1=1，G(jG(j )=0)=0 o o ； 当当 =1=1， 即即 n n 时，时， G(jG(j ) ) = =1/(2) 1/(2) ，G(jG(j )=)=9090 o o ； 当当 = = ，即，即 时，时， G(jG(j ) ) =0=0，G(jG(j )=)=180180 o o ； （令（令= / / n n ）， ， 1.1.典型环节的典型环节的NyquistNyquist图图 (6)(6)振荡环节振荡环节 当当 从从0 0( (即即 由由0 0) )时，时，G(jG(j ) )的幅值由的幅值由1 10 0，其相位由，其相位由0 0 o o -180-180 o o 。 其其NyquistNyquist图始于点图始于点( (1, j01, j0) )，而终于点而终于点( (0, j00, j0) )。 曲线与虚轴的交点的频率就是曲线与虚轴的交点的频率就是无阻尼固有频率无阻尼固有频率 n n ，此时的幅值为此时的幅值为 1/(2)1/(2) 0， G(jG(j ) ) 11， 输出幅值输出幅值 输入幅值输入幅值( (放大）放大） dB T T ），）， 20lg20lg G(jG(j ) ) 20lg20lg T T 20lg20lg T T : : 转角频率转角频率 低频段渐近线低频段渐近线： 20lg20lg G(jG(j ) ) 0dB0dB 误差：